Математический анализ Примеры

${(y + x)}^{2} = \ln (y)$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} ({(y + x)}^{2}) = \frac{d}{d x} (\ln (y))$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем ${(y + x)}^{2}$ в виде $(y + x) (y + x)$ .

$\frac{d}{d x} [(y + x) (y + x)]$

Этап 2.2

Развернем $(y + x) (y + x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [y (y + x) + x (y + x)]$

Этап 2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [y \cdot y + y x + x (y + x)]$

Этап 2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [y \cdot y + y x + x y + x \cdot x]$

Этап 2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Умножим $y$ на $y$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} + y x + x y + x \cdot x]$

Этап 2.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} + y x + x y + x^{2}]$

Этап 2.3.2

Добавим $y x$ и $x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Изменим порядок $y$ и $x$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} + x y + x y + x^{2}]$

Этап 2.3.2.2

Добавим $x y$ и $x y$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} + 2 x y + x^{2}]$

Этап 2.4

По правилу суммы производная $y^{2} + 2 x y + x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.5.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.6

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 y y' + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.7

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x y$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 y y' + 2 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.8

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$2 y y' + 2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.9

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 y y' + 2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 y y' + 2 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.11

Умножим $y$ на $1$ .

$2 y y' + 2 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 y y' + 2 (x y' + y) + 2 x$

Этап 2.13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 y y' + 2 (x y') + 2 y + 2 x$

Этап 2.13.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 y y' + 2 x y' + 2 y + 2 x$

Этап 2.13.3

Изменим порядок членов.

$2 y y' + 2 x y' + 2 x + 2 y$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{1}{y} y'$

Этап 3.3

Объединим $\frac{1}{y}$ и $y'$ .

$\frac{y'}{y}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$2 y y' + 2 x y' + 2 x + 2 y = \frac{y'}{y}$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим обе части на $y$ .

$(2 y y' + 2 x y' + 2 x + 2 y) y = \frac{y'}{y} y$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Упростим $(2 y y' + 2 x y' + 2 x + 2 y) y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 y y' y + 2 x y' y + 2 x y + 2 y \cdot y = \frac{y'}{y} y$

Этап 5.2.1.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.2.1

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.2.1.1

Перенесем $y$ .

$2 (y \cdot y) y' + 2 x y' y + 2 x y + 2 y \cdot y = \frac{y'}{y} y$

Этап 5.2.1.1.2.1.2

Умножим $y$ на $y$ .

$2 y^{2} y' + 2 x y' y + 2 x y + 2 y \cdot y = \frac{y'}{y} y$

Этап 5.2.1.1.2.2

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.2.2.1

Перенесем $y$ .

$2 y^{2} y' + 2 x y' y + 2 x y + 2 (y \cdot y) = \frac{y'}{y} y$

Этап 5.2.1.1.2.2.2

Умножим $y$ на $y$ .

$2 y^{2} y' + 2 x y' y + 2 x y + 2 y^{2} = \frac{y'}{y} y$

Этап 5.2.1.1.3

Перенесем $y^{2}$ .

$2 y' y^{2} + 2 x y' y + 2 x y + 2 y^{2} = \frac{y'}{y} y$

Этап 5.2.1.1.4

Перенесем $x$ .

$2 y' y^{2} + 2 y' x y + 2 x y + 2 y^{2} = \frac{y'}{y} y$

Этап 5.2.1.1.5

Изменим порядок $2 y' y^{2}$ и $2 y' x y$ .

$2 y' x y + 2 y' y^{2} + 2 x y + 2 y^{2} = \frac{y'}{y} y$

Этап 5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$2 y' x y + 2 y' y^{2} + 2 x y + 2 y^{2} = \frac{y'}{y} y$

Этап 5.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$2 y' x y + 2 y' y^{2} + 2 x y + 2 y^{2} = y'$

Этап 5.3

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вычтем $y'$ из обеих частей уравнения.

$2 y' x y + 2 y' y^{2} + 2 x y + 2 y^{2} - y' = 0$

Этап 5.3.2

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Вычтем $2 x y$ из обеих частей уравнения.

$2 y' x y + 2 y' y^{2} + 2 y^{2} - y' = - 2 x y$

Этап 5.3.2.2

Вычтем $2 y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$2 y' x y + 2 y' y^{2} - y' = - 2 x y - 2 y^{2}$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $y'$ из $2 y' x y + 2 y' y^{2} - y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Вынесем множитель $y'$ из $2 y' x y$ .

$y' (2 x y) + 2 y' y^{2} - y' = - 2 x y - 2 y^{2}$

Этап 5.3.3.2

Вынесем множитель $y'$ из $2 y' y^{2}$ .

$y' (2 x y) + y' (2 y^{2}) - y' = - 2 x y - 2 y^{2}$

Этап 5.3.3.3

Вынесем множитель $y'$ из $- y'$ .

$y' (2 x y) + y' (2 y^{2}) + y' \cdot - 1 = - 2 x y - 2 y^{2}$

Этап 5.3.3.4

Вынесем множитель $y'$ из $y' (2 x y) + y' (2 y^{2})$ .

$y' (2 x y + 2 y^{2}) + y' \cdot - 1 = - 2 x y - 2 y^{2}$

Этап 5.3.3.5

Вынесем множитель $y'$ из $y' (2 x y + 2 y^{2}) + y' \cdot - 1$ .

$y' (2 x y + 2 y^{2} - 1) = - 2 x y - 2 y^{2}$

Этап 5.3.4

Разделим каждый член $y' (2 x y + 2 y^{2} - 1) = - 2 x y - 2 y^{2}$ на $2 x y + 2 y^{2} - 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Разделим каждый член $y' (2 x y + 2 y^{2} - 1) = - 2 x y - 2 y^{2}$ на $2 x y + 2 y^{2} - 1$ .

$\frac{y' (2 x y + 2 y^{2} - 1)}{2 x y + 2 y^{2} - 1} = \frac{- 2 x y}{2 x y + 2 y^{2} - 1} + \frac{- 2 y^{2}}{2 x y + 2 y^{2} - 1}$

Этап 5.3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.2.1

Сократим общий множитель $2 x y + 2 y^{2} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (2 x y + 2 y^{2} - 1)}{2 x y + 2 y^{2} - 1} = \frac{- 2 x y}{2 x y + 2 y^{2} - 1} + \frac{- 2 y^{2}}{2 x y + 2 y^{2} - 1}$

Этап 5.3.4.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 2 x y}{2 x y + 2 y^{2} - 1} + \frac{- 2 y^{2}}{2 x y + 2 y^{2} - 1}$

Этап 5.3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- 2 x y - 2 y^{2}}{2 x y + 2 y^{2} - 1}$

Этап 5.3.4.3.2

Вынесем множитель $2 y$ из $- 2 x y - 2 y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.3.2.1

Вынесем множитель $2 y$ из $- 2 x y$ .

$y' = \frac{2 y (- x) - 2 y^{2}}{2 x y + 2 y^{2} - 1}$

Этап 5.3.4.3.2.2

Вынесем множитель $2 y$ из $- 2 y^{2}$ .

$y' = \frac{2 y (- x) + 2 y (- y)}{2 x y + 2 y^{2} - 1}$

Этап 5.3.4.3.2.3

Вынесем множитель $2 y$ из $2 y (- x) + 2 y (- y)$ .

$y' = \frac{2 y (- x - y)}{2 x y + 2 y^{2} - 1}$

Этап 5.3.4.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$y' = \frac{2 y (- (x) - y)}{2 x y + 2 y^{2} - 1}$

Этап 5.3.4.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- y$ .

$y' = \frac{2 y (- (x) - (y))}{2 x y + 2 y^{2} - 1}$

Этап 5.3.4.3.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - (y)$ .

$y' = \frac{2 y (- (x + y))}{2 x y + 2 y^{2} - 1}$

Этап 5.3.4.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.3.6.1

Перепишем $- (x + y)$ в виде $- 1 (x + y)$ .

$y' = \frac{2 y (- 1 (x + y))}{2 x y + 2 y^{2} - 1}$

Этап 5.3.4.3.6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{(2 y) (x + y)}{2 x y + 2 y^{2} - 1}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{(2 y) (x + y)}{2 x y + 2 y^{2} - 1}$