Математический анализ Примеры

$36 {(x^{2} + y^{2})}^{2} = 625 x y^{2}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (36 {(x^{2} + y^{2})}^{2}) = \frac{d}{d x} (625 x y^{2})$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $36$ является константой относительно $x$ , производная $36 {(x^{2} + y^{2})}^{2}$ по $x$ равна $36 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$ .

$36 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x^{2} + y^{2}$ .

$36 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$36 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{2} + y^{2}$ .

$36 (2 (x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $2$ на $36$ .

$72 ((x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Этап 2.3.2

По правилу суммы производная $x^{2} + y^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$72 (x^{2} + y^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$72 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Этап 2.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $y$ .

$72 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$72 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $y$ .

$72 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.5

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$72 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y y')$

Этап 2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(72 x^{2} + 72 y^{2}) (2 x + 2 y y')$

Этап 2.6.2

Изменим порядок множителей в $(72 x^{2} + 72 y^{2}) (2 x + 2 y y')$ .

$(2 x + 2 y y') (72 x^{2} + 72 y^{2})$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $625$ является константой относительно $x$ , производная $625 x y^{2}$ по $x$ равна $625 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

$625 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y^{2}$ .

$625 (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$625 (x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$625 (x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$625 (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.4

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$625 (2 \cdot x y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.5

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$625 (2 x y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$625 (2 x y y' + y^{2} \cdot 1)$

Этап 3.7

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$625 (2 x y y' + y^{2})$

Этап 3.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$625 (2 x y y') + 625 y^{2}$

Этап 3.8.2

Умножим $2$ на $625$ .

$1250 x y y' + 625 y^{2}$

Этап 3.8.3

Изменим порядок членов.

$625 y^{2} + 1250 x y y'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$(2 x + 2 y y') (72 x^{2} + 72 y^{2}) = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим $(2 x + 2 y y') (72 x^{2} + 72 y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Перепишем.

$0 + 0 + (2 x + 2 y y') (72 x^{2} + 72 y^{2}) = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

Этап 5.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$(2 x + 2 y y') (72 x^{2} + 72 y^{2}) = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

Этап 5.1.3

Развернем $(2 x + 2 y y') (72 x^{2} + 72 y^{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x (72 x^{2} + 72 y^{2}) + 2 y y' (72 x^{2} + 72 y^{2}) = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

Этап 5.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x (72 x^{2}) + 2 x (72 y^{2}) + 2 y y' (72 x^{2} + 72 y^{2}) = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

Этап 5.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x (72 x^{2}) + 2 x (72 y^{2}) + 2 y y' (72 x^{2}) + 2 y y' (72 y^{2}) = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

Этап 5.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \cdot 72 x \cdot x^{2} + 2 x (72 y^{2}) + 2 y y' (72 x^{2}) + 2 y y' (72 y^{2}) = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

Этап 5.1.4.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$2 \cdot 72 (x^{2} x) + 2 x (72 y^{2}) + 2 y y' (72 x^{2}) + 2 y y' (72 y^{2}) = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

Этап 5.1.4.2.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 \cdot 72 (x^{2} x^{1}) + 2 x (72 y^{2}) + 2 y y' (72 x^{2}) + 2 y y' (72 y^{2}) = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

Этап 5.1.4.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 \cdot 72 x^{2 + 1} + 2 x (72 y^{2}) + 2 y y' (72 x^{2}) + 2 y y' (72 y^{2}) = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

Этап 5.1.4.2.3

Добавим $2$ и $1$ .

$2 \cdot 72 x^{3} + 2 x (72 y^{2}) + 2 y y' (72 x^{2}) + 2 y y' (72 y^{2}) = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

Этап 5.1.4.3

Умножим $2$ на $72$ .

$144 x^{3} + 2 x (72 y^{2}) + 2 y y' (72 x^{2}) + 2 y y' (72 y^{2}) = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

Этап 5.1.4.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$144 x^{3} + 2 \cdot 72 x y^{2} + 2 y y' (72 x^{2}) + 2 y y' (72 y^{2}) = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

Этап 5.1.4.5

Умножим $2$ на $72$ .

$144 x^{3} + 144 x y^{2} + 2 y y' (72 x^{2}) + 2 y y' (72 y^{2}) = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

Этап 5.1.4.6

Умножим $72$ на $2$ .

$144 x^{3} + 144 x y^{2} + 144 y y' x^{2} + 2 y y' (72 y^{2}) = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

Этап 5.1.4.7

Умножим $y$ на $y^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.7.1

Перенесем $y^{2}$ .

$144 x^{3} + 144 x y^{2} + 144 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y) y' \cdot 72 = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

Этап 5.1.4.7.2

Умножим $y^{2}$ на $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.7.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$144 x^{3} + 144 x y^{2} + 144 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y^{1}) y' \cdot 72 = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

Этап 5.1.4.7.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$144 x^{3} + 144 x y^{2} + 144 y y' x^{2} + 2 y^{2 + 1} y' \cdot 72 = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

Этап 5.1.4.7.3

Добавим $2$ и $1$ .

$144 x^{3} + 144 x y^{2} + 144 y y' x^{2} + 2 y^{3} y' \cdot 72 = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

Этап 5.1.4.8

Умножим $72$ на $2$ .

$144 x^{3} + 144 x y^{2} + 144 y y' x^{2} + 144 y^{3} y' = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

Этап 5.2

Вычтем $1250 x y y'$ из обеих частей уравнения.

$144 x^{3} + 144 x y^{2} + 144 y y' x^{2} + 144 y^{3} y' - 1250 x y y' = 625 y^{2}$

Этап 5.3

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вычтем $144 x^{3}$ из обеих частей уравнения.

$144 x y^{2} + 144 y y' x^{2} + 144 y^{3} y' - 1250 x y y' = 625 y^{2} - 144 x^{3}$

Этап 5.3.2

Вычтем $144 x y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$144 y y' x^{2} + 144 y^{3} y' - 1250 x y y' = 625 y^{2} - 144 x^{3} - 144 x y^{2}$

Этап 5.4

Вынесем множитель $2 y y'$ из $144 y y' x^{2} + 144 y^{3} y' - 1250 x y y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $2 y y'$ из $144 y y' x^{2}$ .

$2 y y' (72 x^{2}) + 144 y^{3} y' - 1250 x y y' = 625 y^{2} - 144 x^{3} - 144 x y^{2}$

Этап 5.4.2

Вынесем множитель $2 y y'$ из $144 y^{3} y'$ .

$2 y y' (72 x^{2}) + 2 y y' (72 y^{2}) - 1250 x y y' = 625 y^{2} - 144 x^{3} - 144 x y^{2}$

Этап 5.4.3

Вынесем множитель $2 y y'$ из $- 1250 x y y'$ .

$2 y y' (72 x^{2}) + 2 y y' (72 y^{2}) + 2 y y' (- 625 x) = 625 y^{2} - 144 x^{3} - 144 x y^{2}$

Этап 5.4.4

Вынесем множитель $2 y y'$ из $2 y y' (72 x^{2}) + 2 y y' (72 y^{2})$ .

$2 y y' (72 x^{2} + 72 y^{2}) + 2 y y' (- 625 x) = 625 y^{2} - 144 x^{3} - 144 x y^{2}$

Этап 5.4.5

Вынесем множитель $2 y y'$ из $2 y y' (72 x^{2} + 72 y^{2}) + 2 y y' (- 625 x)$ .

$2 y y' (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x) = 625 y^{2} - 144 x^{3} - 144 x y^{2}$

Этап 5.5

Разделим каждый член $2 y y' (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x) = 625 y^{2} - 144 x^{3} - 144 x y^{2}$ на $2 y (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Разделим каждый член $2 y y' (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x) = 625 y^{2} - 144 x^{3} - 144 x y^{2}$ на $2 y (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)$ .

$\frac{2 y y' (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)}{2 y (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)} = \frac{625 y^{2}}{2 y (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 144 x^{3}}{2 y (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 144 x y^{2}}{2 y (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)}$

Этап 5.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

Этап 5.5.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y y' (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)}{y (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)} = \frac{625 y^{2}}{2 y (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 144 x^{3}}{2 y (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 144 x y^{2}}{2 y (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)}$

Этап 5.5.2.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1

Сократим общий множитель.

Этап 5.5.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)}{72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x} = \frac{625 y^{2}}{2 y (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 144 x^{3}}{2 y (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 144 x y^{2}}{2 y (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)}$

Этап 5.5.2.3

Сократим общий множитель $72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.1

Сократим общий множитель.

Этап 5.5.2.3.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{625 y^{2}}{2 y (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 144 x^{3}}{2 y (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 144 x y^{2}}{2 y (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)}$

Этап 5.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.1

Сократим общий множитель $y^{2}$ и $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.1.1

Вынесем множитель $y$ из $625 y^{2}$ .

$y' = \frac{y (625 y)}{2 y (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 144 x^{3}}{2 y (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 144 x y^{2}}{2 y (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)}$

Этап 5.5.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $y$ из $2 y (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)$ .

$y' = \frac{y (625 y)}{y (2 (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x))} + \frac{- 144 x^{3}}{2 y (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 144 x y^{2}}{2 y (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)}$

Этап 5.5.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{y (625 y)}{y (2 (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x))} + \frac{- 144 x^{3}}{2 y (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 144 x y^{2}}{2 y (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)}$

Этап 5.5.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{625 y}{2 (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 144 x^{3}}{2 y (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 144 x y^{2}}{2 y (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)}$

Этап 5.5.3.1.2

Сократим общий множитель $- 144$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 144 x^{3}$ .

$y' = \frac{625 y}{2 (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)} + \frac{2 (- 72 x^{3})}{2 y (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 144 x y^{2}}{2 y (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)}$

Этап 5.5.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 y (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)$ .

$y' = \frac{625 y}{2 (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)} + \frac{2 (- 72 x^{3})}{2 (y (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x))} + \frac{- 144 x y^{2}}{2 y (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)}$

Этап 5.5.3.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{625 y}{2 (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)} + \frac{2 (- 72 x^{3})}{2 (y (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x))} + \frac{- 144 x y^{2}}{2 y (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)}$

Этап 5.5.3.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{625 y}{2 (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 72 x^{3}}{y (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 144 x y^{2}}{2 y (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)}$

Этап 5.5.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{625 y}{2 (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)} - \frac{(72) x^{3}}{y (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 144 x y^{2}}{2 y (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)}$

Этап 5.5.3.1.4

Сократим общий множитель $- 144$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $- 144 x y^{2}$ .

$y' = \frac{625 y}{2 (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)} - \frac{72 x^{3}}{y (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)} + \frac{2 (- 72 x y^{2})}{2 y (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)}$

Этап 5.5.3.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 y (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)$ .

$y' = \frac{625 y}{2 (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)} - \frac{72 x^{3}}{y (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)} + \frac{2 (- 72 x y^{2})}{2 (y (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x))}$

Этап 5.5.3.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{625 y}{2 (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)} - \frac{72 x^{3}}{y (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)} + \frac{2 (- 72 x y^{2})}{2 (y (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x))}$

Этап 5.5.3.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{625 y}{2 (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)} - \frac{72 x^{3}}{y (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 72 x y^{2}}{y (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)}$

Этап 5.5.3.1.5

Сократим общий множитель $y^{2}$ и $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.5.1

Вынесем множитель $y$ из $- 72 x y^{2}$ .

$y' = \frac{625 y}{2 (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)} - \frac{72 x^{3}}{y (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)} + \frac{y (- 72 x y)}{y (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)}$

Этап 5.5.3.1.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.5.2.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{625 y}{2 (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)} - \frac{72 x^{3}}{y (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)} + \frac{y (- 72 x y)}{y (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)}$

Этап 5.5.3.1.5.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{625 y}{2 (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)} - \frac{72 x^{3}}{y (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 72 x y}{72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x}$

Этап 5.5.3.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{625 y}{2 (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)} - \frac{72 x^{3}}{y (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)} - \frac{72 x y}{72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x}$

Этап 5.5.3.2

Чтобы записать $- \frac{72 x y}{72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{72 x^{3}}{y (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)} + \frac{625 y}{2 (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)} - \frac{72 x y}{72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 5.5.3.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $2 (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.3.1

Умножим $\frac{72 x y}{72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x}$ на $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{72 x^{3}}{y (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)} + \frac{625 y}{2 (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)} - \frac{72 x y \cdot 2}{(72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x) \cdot 2}$

Этап 5.5.3.3.2

Изменим порядок множителей в $(72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x) \cdot 2$ .

$y' = - \frac{72 x^{3}}{y (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)} + \frac{625 y}{2 (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)} - \frac{72 x y \cdot 2}{2 (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)}$

Этап 5.5.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = - \frac{72 x^{3}}{y (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)} + \frac{625 y - 72 x y \cdot 2}{2 (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)}$

Этап 5.5.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.5.1

Вынесем множитель $y$ из $625 y - 72 x y \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.5.1.1

Вынесем множитель $y$ из $625 y$ .

$y' = - \frac{72 x^{3}}{y (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)} + \frac{y \cdot 625 - 72 x y \cdot 2}{2 (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)}$

Этап 5.5.3.5.1.2

Вынесем множитель $y$ из $- 72 x y \cdot 2$ .

$y' = - \frac{72 x^{3}}{y (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)} + \frac{y \cdot 625 + y (- 72 x \cdot 2)}{2 (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)}$

Этап 5.5.3.5.1.3

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot 625 + y (- 72 x \cdot 2)$ .

$y' = - \frac{72 x^{3}}{y (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)} + \frac{y (625 - 72 x \cdot 2)}{2 (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)}$

Этап 5.5.3.5.2

Умножим $2$ на $- 72$ .

$y' = - \frac{72 x^{3}}{y (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)} + \frac{y (625 - 144 x)}{2 (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)}$

Этап 5.5.3.6

Чтобы записать $- \frac{72 x^{3}}{y (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{72 x^{3}}{y (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)} \cdot \frac{2}{2} + \frac{y (625 - 144 x)}{2 (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)}$

Этап 5.5.3.7

Чтобы записать $\frac{y (625 - 144 x)}{2 (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{72 x^{3}}{y (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)} \cdot \frac{2}{2} + \frac{y (625 - 144 x)}{2 (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)} \cdot \frac{y}{y}$

Этап 5.5.3.8

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $y (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x) \cdot 2$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.8.1

Умножим $\frac{72 x^{3}}{y (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)}$ на $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{72 x^{3} \cdot 2}{y (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x) \cdot 2} + \frac{y (625 - 144 x)}{2 (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)} \cdot \frac{y}{y}$

Этап 5.5.3.8.2

Умножим $\frac{y (625 - 144 x)}{2 (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)}$ на $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{72 x^{3} \cdot 2}{y (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x) \cdot 2} + \frac{y (625 - 144 x) y}{2 (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x) y}$

Этап 5.5.3.8.3

Изменим порядок множителей в $y (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x) \cdot 2$ .

$y' = - \frac{72 x^{3} \cdot 2}{2 y (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)} + \frac{y (625 - 144 x) y}{2 (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x) y}$

Этап 5.5.3.8.4

Изменим порядок множителей в $2 (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x) y$ .

$y' = - \frac{72 x^{3} \cdot 2}{2 y (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)} + \frac{y (625 - 144 x) y}{2 y (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)}$

Этап 5.5.3.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- 72 x^{3} \cdot 2 + y (625 - 144 x) y}{2 y (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)}$

Этап 5.5.3.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.10.1

Умножим $2$ на $- 72$ .

$y' = \frac{- 144 x^{3} + y (625 - 144 x) y}{2 y (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)}$

Этап 5.5.3.10.2

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.10.2.1

Перенесем $y$ .

$y' = \frac{- 144 x^{3} + y \cdot y (625 - 144 x)}{2 y (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)}$

Этап 5.5.3.10.2.2

Умножим $y$ на $y$ .

$y' = \frac{- 144 x^{3} + y^{2} (625 - 144 x)}{2 y (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)}$

Этап 5.5.3.10.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y' = \frac{- 144 x^{3} + y^{2} \cdot 625 + y^{2} (- 144 x)}{2 y (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)}$

Этап 5.5.3.10.4

Перенесем $625$ влево от $y^{2}$ .

$y' = \frac{- 144 x^{3} + 625 \cdot y^{2} + y^{2} (- 144 x)}{2 y (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)}$

Этап 5.5.3.10.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y' = \frac{- 144 x^{3} + 625 y^{2} - 144 y^{2} x}{2 y (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)}$

Этап 5.5.3.11

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.11.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 144 x^{3}$ .

$y' = \frac{- (144 x^{3}) + 625 y^{2} - 144 y^{2} x}{2 y (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)}$

Этап 5.5.3.11.2

Вынесем множитель $- 1$ из $625 y^{2}$ .

$y' = \frac{- (144 x^{3}) - (- 625 y^{2}) - 144 y^{2} x}{2 y (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)}$

Этап 5.5.3.11.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (144 x^{3}) - (- 625 y^{2})$ .

$y' = \frac{- (144 x^{3} - 625 y^{2}) - 144 y^{2} x}{2 y (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)}$

Этап 5.5.3.11.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 144 y^{2} x$ .

$y' = \frac{- (144 x^{3} - 625 y^{2}) - (144 y^{2} x)}{2 y (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)}$

Этап 5.5.3.11.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (144 x^{3} - 625 y^{2}) - (144 y^{2} x)$ .

$y' = \frac{- (144 x^{3} - 625 y^{2} + 144 y^{2} x)}{2 y (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)}$

Этап 5.5.3.11.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.11.6.1

Перепишем $- (144 x^{3} - 625 y^{2} + 144 y^{2} x)$ в виде $- 1 (144 x^{3} - 625 y^{2} + 144 y^{2} x)$ .

$y' = \frac{- 1 (144 x^{3} - 625 y^{2} + 144 y^{2} x)}{2 y (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)}$

Этап 5.5.3.11.6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{144 x^{3} - 625 y^{2} + 144 y^{2} x}{2 y (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{144 x^{3} - 625 y^{2} + 144 y^{2} x}{2 y (72 x^{2} + 72 y^{2} - 625 x)}$