Математический анализ Примеры

$\sum_{k = 5}^{13} \frac{5 - 2 k}{8}$

Этап 1

Разобьем сумму так, чтобы начальное значение $k$ было равно $1$ .

$\sum_{k = 5}^{13} \frac{5}{8} - \frac{k}{4} = \sum_{k = 1}^{13} \frac{5}{8} - \frac{k}{4} - \sum_{k = 1}^{4} \frac{5}{8} - \frac{k}{4}$

Этап 2

Найдем значение $\sum_{k = 1}^{13} \frac{5}{8} - \frac{k}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разобьем сумму на меньшие суммы в соответствии с правилами суммирования.

$\sum_{k = 1}^{13} \frac{5}{8} - \frac{k}{4} = \sum_{k = 1}^{13} \frac{5}{8} + \sum_{k = 1}^{13} - \frac{k}{4}$

Этап 2.2

Найдем значение $\sum_{k = 1}^{13} \frac{5}{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Формула суммирования констант:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Этап 2.2.2

Подставим значения в формулу.

$(\frac{5}{8}) (13)$

Этап 2.2.3

Умножим $(\frac{5}{8}) (13)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Объединим $\frac{5}{8}$ и $13$ .

$\frac{5 \cdot 13}{8}$

Этап 2.2.3.2

Умножим $5$ на $13$ .

$\frac{65}{8}$

Этап 2.3

Найдем значение $\sum_{k = 1}^{13} - \frac{k}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вынесем $- \frac{1}{4}$ за символ суммирования.

$(- \frac{1}{4}) \sum_{k = 1}^{13} k$

Этап 2.3.2

Формула суммирования многочлена степени $1$ :

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Этап 2.3.3

Подставим данные значения в формулу и умножим на стоящий первым член.

$(- \frac{1}{4}) (\frac{13 (13 + 1)}{2})$

Этап 2.3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1.1

Добавим $13$ и $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{13 \cdot 14}{2}$

Этап 2.3.4.1.2

Умножим $13$ на $14$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{182}{2}$

Этап 2.3.4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{4}$ в числитель.

$\frac{- 1}{4} \cdot \frac{182}{2}$

Этап 2.3.4.2.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{- 1}{2 (2)} \cdot \frac{182}{2}$

Этап 2.3.4.2.3

Вынесем множитель $2$ из $182$ .

$\frac{- 1}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2 \cdot 91}{2}$

Этап 2.3.4.2.4

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2 \cdot 91}{2}$

Этап 2.3.4.2.5

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{2} \cdot \frac{91}{2}$

Этап 2.3.4.3

Умножим $\frac{- 1}{2}$ на $\frac{91}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 91}{2 \cdot 2}$

Этап 2.3.4.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.4.1

Умножим $- 1$ на $91$ .

$\frac{- 91}{2 \cdot 2}$

Этап 2.3.4.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{- 91}{4}$

Этап 2.3.4.4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{91}{4}$

Этап 2.4

Сложим результаты суммирования.

$\frac{65}{8} - \frac{91}{4}$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Чтобы записать $- \frac{91}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{65}{8} - \frac{91}{4} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 2.5.2

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $8$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Умножим $\frac{91}{4}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{65}{8} - \frac{91 \cdot 2}{4 \cdot 2}$

Этап 2.5.2.2

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{65}{8} - \frac{91 \cdot 2}{8}$

Этап 2.5.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{65 - 91 \cdot 2}{8}$

Этап 2.5.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1

Умножим $- 91$ на $2$ .

$\frac{65 - 182}{8}$

Этап 2.5.4.2

Вычтем $182$ из $65$ .

$\frac{- 117}{8}$

Этап 2.5.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{117}{8}$

Этап 3

Найдем значение $\sum_{k = 1}^{4} \frac{5}{8} - \frac{k}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Развернем ряд для каждого значения $k$ .

$\frac{5}{8} - \frac{1}{4} + \frac{5}{8} - \frac{2}{4} + \frac{5}{8} - \frac{3}{4} + \frac{5}{8} - \frac{4}{4}$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{5 + 5 + 5 + 5}{8} + \frac{- 1 - 2 - 3 - 4}{4}$

Этап 3.2.2

Добавим $5$ и $5$ .

$\frac{10 + 5 + 5}{8} + \frac{- 1 - 2 - 3 - 4}{4}$

Этап 3.2.3

Добавим $10$ и $5$ .

$\frac{15 + 5}{8} + \frac{- 1 - 2 - 3 - 4}{4}$

Этап 3.2.4

Добавим $15$ и $5$ .

$\frac{20}{8} + \frac{- 1 - 2 - 3 - 4}{4}$

Этап 3.2.5

Вычтем $2$ из $- 1$ .

$\frac{20}{8} + \frac{- 3 - 3 - 4}{4}$

Этап 3.2.6

Вычтем $3$ из $- 3$ .

$\frac{20}{8} + \frac{- 6 - 4}{4}$

Этап 3.2.7

Вычтем $4$ из $- 6$ .

$\frac{20}{8} + \frac{- 10}{4}$

Этап 3.2.8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.1

Сократим общий множитель $20$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.1.1

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$\frac{4 (5)}{8} + \frac{- 10}{4}$

Этап 3.2.8.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 2} + \frac{- 10}{4}$

Этап 3.2.8.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 2} + \frac{- 10}{4}$

Этап 3.2.8.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{5}{2} + \frac{- 10}{4}$

Этап 3.2.8.2

Сократим общий множитель $- 10$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 10$ .

$\frac{5}{2} + \frac{2 (- 5)}{4}$

Этап 3.2.8.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{5}{2} + \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 2}$

Этап 3.2.8.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5}{2} + \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 2}$

Этап 3.2.8.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{5}{2} + \frac{- 5}{2}$

Этап 3.2.8.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{5}{2} - \frac{5}{2}$

Этап 3.2.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{5 - 5}{2}$

Этап 3.2.10

Вычтем $5$ из $5$ .

$\frac{0}{2}$

Этап 3.2.11

Разделим $0$ на $2$ .

$0$

Этап 4

Подставим найденные значения вместо результатов суммирования.

$- \frac{117}{8} - 0$

Этап 5

Вычтем $0$ из $- \frac{117}{8}$ .

$- \frac{117}{8}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{117}{8}$

Десятичная форма:

$- 14.625$

Форма смешанных чисел:

$- 14 \frac{5}{8}$