Математический анализ Примеры

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{4 n^{2} - 1}$

Этап 1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $4 n^{2}$ в виде ${(2 n)}^{2}$ .

$\frac{1}{{(2 n)}^{2} - 1}$

Этап 1.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{1}{{(2 n)}^{2} - 1^{2}}$

Этап 1.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 2 n$ и $b = 1$ .

$\frac{1}{(2 n + 1) (2 n - 1)}$

Этап 2

Переделаем суммирование.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{(2 n + 1) (2 n - 1)}$