Математический анализ Примеры

$\sum_{n = 1}^{4} \frac{n + 1}{n + 4}$

Этап 1

Развернем ряд для каждого значения $n$ .

$\frac{1 + 1}{1 + 4} + \frac{2 + 1}{2 + 4} + \frac{3 + 1}{3 + 4} + \frac{4 + 1}{4 + 4}$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2}{1 + 4} + \frac{2 + 1}{2 + 4} + \frac{3 + 1}{3 + 4} + \frac{4 + 1}{4 + 4}$

Этап 2.2

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{2}{1 + 4} + \frac{3}{2 + 4} + \frac{3 + 1}{3 + 4} + \frac{4 + 1}{4 + 4}$

Этап 2.3

Добавим $3$ и $1$ .

$\frac{2}{1 + 4} + \frac{3}{2 + 4} + \frac{4}{3 + 4} + \frac{4 + 1}{4 + 4}$

Этап 2.4

Добавим $4$ и $1$ .

$\frac{2}{1 + 4} + \frac{3}{2 + 4} + \frac{4}{3 + 4} + \frac{5}{4 + 4}$

Этап 2.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Добавим $1$ и $4$ .

$\frac{2}{5} + \frac{3}{2 + 4} + \frac{4}{3 + 4} + \frac{5}{4 + 4}$

Этап 2.5.2

Добавим $2$ и $4$ .

$\frac{2}{5} + \frac{3}{6} + \frac{4}{3 + 4} + \frac{5}{4 + 4}$

Этап 2.5.3

Сократим общий множитель $3$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{2}{5} + \frac{3 (1)}{6} + \frac{4}{3 + 4} + \frac{5}{4 + 4}$

Этап 2.5.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\frac{2}{5} + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} + \frac{4}{3 + 4} + \frac{5}{4 + 4}$

Этап 2.5.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{5} + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} + \frac{4}{3 + 4} + \frac{5}{4 + 4}$

Этап 2.5.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{5} + \frac{1}{2} + \frac{4}{3 + 4} + \frac{5}{4 + 4}$

Этап 2.5.4

Добавим $3$ и $4$ .

$\frac{2}{5} + \frac{1}{2} + \frac{4}{7} + \frac{5}{4 + 4}$

Этап 2.5.5

Добавим $4$ и $4$ .

$\frac{2}{5} + \frac{1}{2} + \frac{4}{7} + \frac{5}{8}$

Этап 2.6

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Умножим $\frac{2}{5}$ на $\frac{56}{56}$ .

$\frac{2}{5} \cdot \frac{56}{56} + \frac{1}{2} + \frac{4}{7} + \frac{5}{8}$

Этап 2.6.2

Умножим $\frac{2}{5}$ на $\frac{56}{56}$ .

$\frac{2 \cdot 56}{5 \cdot 56} + \frac{1}{2} + \frac{4}{7} + \frac{5}{8}$

Этап 2.6.3

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{140}{140}$ .

$\frac{2 \cdot 56}{5 \cdot 56} + \frac{1}{2} \cdot \frac{140}{140} + \frac{4}{7} + \frac{5}{8}$

Этап 2.6.4

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{140}{140}$ .

$\frac{2 \cdot 56}{5 \cdot 56} + \frac{140}{2 \cdot 140} + \frac{4}{7} + \frac{5}{8}$

Этап 2.6.5

Умножим $\frac{4}{7}$ на $\frac{40}{40}$ .

$\frac{2 \cdot 56}{5 \cdot 56} + \frac{140}{2 \cdot 140} + \frac{4}{7} \cdot \frac{40}{40} + \frac{5}{8}$

Этап 2.6.6

Умножим $\frac{4}{7}$ на $\frac{40}{40}$ .

$\frac{2 \cdot 56}{5 \cdot 56} + \frac{140}{2 \cdot 140} + \frac{4 \cdot 40}{7 \cdot 40} + \frac{5}{8}$

Этап 2.6.7

Умножим $\frac{5}{8}$ на $\frac{35}{35}$ .

$\frac{2 \cdot 56}{5 \cdot 56} + \frac{140}{2 \cdot 140} + \frac{4 \cdot 40}{7 \cdot 40} + \frac{5}{8} \cdot \frac{35}{35}$

Этап 2.6.8

Умножим $\frac{5}{8}$ на $\frac{35}{35}$ .

$\frac{2 \cdot 56}{5 \cdot 56} + \frac{140}{2 \cdot 140} + \frac{4 \cdot 40}{7 \cdot 40} + \frac{5 \cdot 35}{8 \cdot 35}$

Этап 2.6.9

Умножим $5$ на $56$ .

$\frac{2 \cdot 56}{280} + \frac{140}{2 \cdot 140} + \frac{4 \cdot 40}{7 \cdot 40} + \frac{5 \cdot 35}{8 \cdot 35}$

Этап 2.6.10

Умножим $2$ на $140$ .

$\frac{2 \cdot 56}{280} + \frac{140}{280} + \frac{4 \cdot 40}{7 \cdot 40} + \frac{5 \cdot 35}{8 \cdot 35}$

Этап 2.6.11

Умножим $7$ на $40$ .

$\frac{2 \cdot 56}{280} + \frac{140}{280} + \frac{4 \cdot 40}{280} + \frac{5 \cdot 35}{8 \cdot 35}$

Этап 2.6.12

Умножим $8$ на $35$ .

$\frac{2 \cdot 56}{280} + \frac{140}{280} + \frac{4 \cdot 40}{280} + \frac{5 \cdot 35}{280}$

Этап 2.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 \cdot 56 + 140 + 4 \cdot 40 + 5 \cdot 35}{280}$

Этап 2.8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Умножим $2$ на $56$ .

$\frac{112 + 140 + 4 \cdot 40 + 5 \cdot 35}{280}$

Этап 2.8.2

Умножим $4$ на $40$ .

$\frac{112 + 140 + 160 + 5 \cdot 35}{280}$

Этап 2.8.3

Умножим $5$ на $35$ .

$\frac{112 + 140 + 160 + 175}{280}$

Этап 2.9

Добавим $112$ и $140$ .

$\frac{252 + 160 + 175}{280}$

Этап 2.10

Добавим $252$ и $160$ .

$\frac{412 + 175}{280}$

Этап 2.11

Добавим $412$ и $175$ .

$\frac{587}{280}$

Этап 3

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{587}{280}$

Десятичная форма:

$2.09642857 \dots$

Форма смешанных чисел:

$2 \frac{27}{280}$