Математический анализ Примеры

$\sum_{n = 1}^{4} n^{- 2} (12)$

Этап 1

Упростим суммирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{n^{2}} \cdot 12$

Этап 1.2

Объединим $\frac{1}{n^{2}}$ и $12$ .

$\frac{12}{n^{2}}$

Этап 1.3

Переделаем суммирование.

$\sum_{n = 1}^{4} \frac{12}{n^{2}}$

Этап 2

Развернем ряд для каждого значения $n$ .

$\frac{12}{1^{2}} + \frac{12}{2^{2}} + \frac{12}{3^{2}} + \frac{12}{4^{2}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{12}{1} + \frac{12}{2^{2}} + \frac{12}{3^{2}} + \frac{12}{4^{2}}$

Этап 3.1.2

Разделим $12$ на $1$ .

$12 + \frac{12}{2^{2}} + \frac{12}{3^{2}} + \frac{12}{4^{2}}$

Этап 3.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$12 + \frac{12}{4} + \frac{12}{3^{2}} + \frac{12}{4^{2}}$

Этап 3.1.4

Разделим $12$ на $4$ .

$12 + 3 + \frac{12}{3^{2}} + \frac{12}{4^{2}}$

Этап 3.1.5

Возведем $3$ в степень $2$ .

$12 + 3 + \frac{12}{9} + \frac{12}{4^{2}}$

Этап 3.1.6

Сократим общий множитель $12$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.6.1

Вынесем множитель $3$ из $12$ .

$12 + 3 + \frac{3 (4)}{9} + \frac{12}{4^{2}}$

Этап 3.1.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.6.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$12 + 3 + \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3} + \frac{12}{4^{2}}$

Этап 3.1.6.2.2

Сократим общий множитель.

$12 + 3 + \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3} + \frac{12}{4^{2}}$

Этап 3.1.6.2.3

Перепишем это выражение.

$12 + 3 + \frac{4}{3} + \frac{12}{4^{2}}$

Этап 3.1.7

Возведем $4$ в степень $2$ .

$12 + 3 + \frac{4}{3} + \frac{12}{16}$

Этап 3.1.8

Сократим общий множитель $12$ и $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.8.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$12 + 3 + \frac{4}{3} + \frac{4 (3)}{16}$

Этап 3.1.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.8.2.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$12 + 3 + \frac{4}{3} + \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 4}$

Этап 3.1.8.2.2

Сократим общий множитель.

$12 + 3 + \frac{4}{3} + \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 4}$

Этап 3.1.8.2.3

Перепишем это выражение.

$12 + 3 + \frac{4}{3} + \frac{3}{4}$

Этап 3.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Запишем $12$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{12}{1} + 3 + \frac{4}{3} + \frac{3}{4}$

Этап 3.2.2

Умножим $\frac{12}{1}$ на $\frac{12}{12}$ .

$\frac{12}{1} \cdot \frac{12}{12} + 3 + \frac{4}{3} + \frac{3}{4}$

Этап 3.2.3

Умножим $\frac{12}{1}$ на $\frac{12}{12}$ .

$\frac{12 \cdot 12}{12} + 3 + \frac{4}{3} + \frac{3}{4}$

Этап 3.2.4

Запишем $3$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{12 \cdot 12}{12} + \frac{3}{1} + \frac{4}{3} + \frac{3}{4}$

Этап 3.2.5

Умножим $\frac{3}{1}$ на $\frac{12}{12}$ .

$\frac{12 \cdot 12}{12} + \frac{3}{1} \cdot \frac{12}{12} + \frac{4}{3} + \frac{3}{4}$

Этап 3.2.6

Умножим $\frac{3}{1}$ на $\frac{12}{12}$ .

$\frac{12 \cdot 12}{12} + \frac{3 \cdot 12}{12} + \frac{4}{3} + \frac{3}{4}$

Этап 3.2.7

Умножим $\frac{4}{3}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{12 \cdot 12}{12} + \frac{3 \cdot 12}{12} + \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{3}{4}$

Этап 3.2.8

Умножим $\frac{4}{3}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{12 \cdot 12}{12} + \frac{3 \cdot 12}{12} + \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{3}{4}$

Этап 3.2.9

Умножим $\frac{3}{4}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{12 \cdot 12}{12} + \frac{3 \cdot 12}{12} + \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 3.2.10

Умножим $\frac{3}{4}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{12 \cdot 12}{12} + \frac{3 \cdot 12}{12} + \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3}$

Этап 3.2.11

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{12 \cdot 12}{12} + \frac{3 \cdot 12}{12} + \frac{4 \cdot 4}{12} + \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3}$

Этап 3.2.12

Изменим порядок множителей в $4 \cdot 3$ .

$\frac{12 \cdot 12}{12} + \frac{3 \cdot 12}{12} + \frac{4 \cdot 4}{12} + \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 4}$

Этап 3.2.13

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{12 \cdot 12}{12} + \frac{3 \cdot 12}{12} + \frac{4 \cdot 4}{12} + \frac{3 \cdot 3}{12}$

Этап 3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{12 \cdot 12 + 3 \cdot 12 + 4 \cdot 4 + 3 \cdot 3}{12}$

Этап 3.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Умножим $12$ на $12$ .

$\frac{144 + 3 \cdot 12 + 4 \cdot 4 + 3 \cdot 3}{12}$

Этап 3.4.2

Умножим $3$ на $12$ .

$\frac{144 + 36 + 4 \cdot 4 + 3 \cdot 3}{12}$

Этап 3.4.3

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{144 + 36 + 16 + 3 \cdot 3}{12}$

Этап 3.4.4

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{144 + 36 + 16 + 9}{12}$

Этап 3.5

Добавим $144$ и $36$ .

$\frac{180 + 16 + 9}{12}$

Этап 3.6

Добавим $180$ и $16$ .

$\frac{196 + 9}{12}$

Этап 3.7

Добавим $196$ и $9$ .

$\frac{205}{12}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{205}{12}$

Десятичная форма:

$17.08\overline{3}$

Форма смешанных чисел:

$17 \frac{1}{12}$