Математический анализ Примеры

$\sum_{n = 1}^{4} {(a - n)}^{2}$

Этап 1

Упростим суммирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(a - n)}^{2}$ в виде $(a - n) (a - n)$ .

$(a - n) (a - n)$

Этап 1.2

Развернем $(a - n) (a - n)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$a (a - n) - n (a - n)$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$a \cdot a + a (- n) - n (a - n)$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$a \cdot a + a (- n) - n a - n (- n)$

Этап 1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Умножим $a$ на $a$ .

$a^{2} + a (- n) - n a - n (- n)$

Этап 1.3.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$a^{2} - a n - n a - n (- n)$

Этап 1.3.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$a^{2} - a n - n a - 1 \cdot - 1 n \cdot n$

Этап 1.3.1.4

Умножим $n$ на $n$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.4.1

Перенесем $n$ .

$a^{2} - a n - n a - 1 \cdot - 1 (n \cdot n)$

Этап 1.3.1.4.2

Умножим $n$ на $n$ .

$a^{2} - a n - n a - 1 \cdot - 1 n^{2}$

Этап 1.3.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$a^{2} - a n - n a + 1 n^{2}$

Этап 1.3.1.6

Умножим $n^{2}$ на $1$ .

$a^{2} - a n - n a + n^{2}$

Этап 1.3.2

Вычтем $n a$ из $- a n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Перенесем $n$ .

$a^{2} - a n - 1 a n + n^{2}$

Этап 1.3.2.2

Вычтем $a n$ из $- a n$ .

$a^{2} - 2 a n + n^{2}$

Этап 1.4

Переделаем суммирование.

$\sum_{n = 1}^{4} a^{2} - 2 a n + n^{2}$

Этап 2

Развернем ряд для каждого значения $n$ .

$a^{2} - 2 a \cdot 1 + 1^{2} + a^{2} - 2 a \cdot 2 + 2^{2} + a^{2} - 2 a \cdot 3 + 3^{2} + a^{2} - 2 a \cdot 4 + 4^{2}$

Этап 3

Подставим значения обратно и упростим $a^{2} - 2 a \cdot 1 + 1^{2} + a^{2} - 2 a \cdot 2 + 2^{2} + a^{2} - 2 a \cdot 3 + 3^{2} + a^{2} - 2 a \cdot 4 + 4^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим $- 2$ на $1$ .

$a^{2} - 2 a + 1^{2} + a^{2} - 2 a \cdot 2 + 2^{2} + a^{2} - 2 a \cdot 3 + 3^{2} + a^{2} - 2 a \cdot 4 + 4^{2}$

Этап 3.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$a^{2} - 2 a + 1 + a^{2} - 2 a \cdot 2 + 2^{2} + a^{2} - 2 a \cdot 3 + 3^{2} + a^{2} - 2 a \cdot 4 + 4^{2}$

Этап 3.1.3

Умножим $2$ на $- 2$ .

$a^{2} - 2 a + 1 + a^{2} - 4 a + 2^{2} + a^{2} - 2 a \cdot 3 + 3^{2} + a^{2} - 2 a \cdot 4 + 4^{2}$

Этап 3.1.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$a^{2} - 2 a + 1 + a^{2} - 4 a + 4 + a^{2} - 2 a \cdot 3 + 3^{2} + a^{2} - 2 a \cdot 4 + 4^{2}$

Этап 3.1.5

Умножим $3$ на $- 2$ .

$a^{2} - 2 a + 1 + a^{2} - 4 a + 4 + a^{2} - 6 a + 3^{2} + a^{2} - 2 a \cdot 4 + 4^{2}$

Этап 3.1.6

Возведем $3$ в степень $2$ .

$a^{2} - 2 a + 1 + a^{2} - 4 a + 4 + a^{2} - 6 a + 9 + a^{2} - 2 a \cdot 4 + 4^{2}$

Этап 3.1.7

Умножим $4$ на $- 2$ .

$a^{2} - 2 a + 1 + a^{2} - 4 a + 4 + a^{2} - 6 a + 9 + a^{2} - 8 a + 4^{2}$

Этап 3.1.8

Возведем $4$ в степень $2$ .

$a^{2} - 2 a + 1 + a^{2} - 4 a + 4 + a^{2} - 6 a + 9 + a^{2} - 8 a + 16$

Этап 3.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Добавим $a^{2}$ и $a^{2}$ .

$2 a^{2} - 2 a + 1 - 4 a + 4 + a^{2} - 6 a + 9 + a^{2} - 8 a + 16$

Этап 3.2.2

Добавим $2 a^{2}$ и $a^{2}$ .

$3 a^{2} - 2 a + 1 - 4 a + 4 - 6 a + 9 + a^{2} - 8 a + 16$

Этап 3.2.3

Добавим $3 a^{2}$ и $a^{2}$ .

$4 a^{2} - 2 a + 1 - 4 a + 4 - 6 a + 9 - 8 a + 16$

Этап 3.2.4

Вычтем $4 a$ из $- 2 a$ .

$4 a^{2} - 6 a + 1 + 4 - 6 a + 9 - 8 a + 16$

Этап 3.2.5

Вычтем $6 a$ из $- 6 a$ .

$4 a^{2} - 12 a + 1 + 4 + 9 - 8 a + 16$

Этап 3.2.6

Вычтем $8 a$ из $- 12 a$ .

$4 a^{2} - 20 a + 1 + 4 + 9 + 16$

Этап 3.2.7

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.1

Добавим $1$ и $4$ .

$4 a^{2} - 20 a + 5 + 9 + 16$

Этап 3.2.7.2

Добавим $5$ и $9$ .

$4 a^{2} - 20 a + 14 + 16$

Этап 3.2.7.3

Добавим $14$ и $16$ .

$4 a^{2} - 20 a + 30$