Математический анализ Примеры

$\sum_{n = 1}^{4} \frac{5 n}{n + 3}$

Этап 1

Развернем ряд для каждого значения $n$ .

$\frac{5 \cdot 1}{1 + 3} + \frac{5 \cdot 2}{2 + 3} + \frac{5 \cdot 3}{3 + 3} + \frac{5 \cdot 4}{4 + 3}$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим $5$ на $1$ .

$\frac{5}{1 + 3} + \frac{5 \cdot 2}{2 + 3} + \frac{5 \cdot 3}{3 + 3} + \frac{5 \cdot 4}{4 + 3}$

Этап 2.2

Умножим $5$ на $2$ .

$\frac{5}{1 + 3} + \frac{10}{2 + 3} + \frac{5 \cdot 3}{3 + 3} + \frac{5 \cdot 4}{4 + 3}$

Этап 2.3

Умножим $5$ на $3$ .

$\frac{5}{1 + 3} + \frac{10}{2 + 3} + \frac{15}{3 + 3} + \frac{5 \cdot 4}{4 + 3}$

Этап 2.4

Умножим $5$ на $4$ .

$\frac{5}{1 + 3} + \frac{10}{2 + 3} + \frac{15}{3 + 3} + \frac{20}{4 + 3}$

Этап 2.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Добавим $1$ и $3$ .

$\frac{5}{4} + \frac{10}{2 + 3} + \frac{15}{3 + 3} + \frac{20}{4 + 3}$

Этап 2.5.2

Добавим $2$ и $3$ .

$\frac{5}{4} + \frac{10}{5} + \frac{15}{3 + 3} + \frac{20}{4 + 3}$

Этап 2.5.3

Разделим $10$ на $5$ .

$\frac{5}{4} + 2 + \frac{15}{3 + 3} + \frac{20}{4 + 3}$

Этап 2.5.4

Сократим общий множитель $15$ и $3 + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1

Вынесем множитель $3$ из $15$ .

$\frac{5}{4} + 2 + \frac{3 \cdot 5}{3 + 3} + \frac{20}{4 + 3}$

Этап 2.5.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{5}{4} + 2 + \frac{3 \cdot 5}{3 (1) + 3} + \frac{20}{4 + 3}$

Этап 2.5.4.2.2

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{5}{4} + 2 + \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 1 + 3 \cdot 1} + \frac{20}{4 + 3}$

Этап 2.5.4.2.3

Вынесем множитель $3$ из $3 \cdot 1 + 3 \cdot 1$ .

$\frac{5}{4} + 2 + \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot (1 + 1)} + \frac{20}{4 + 3}$

Этап 2.5.4.2.4

Сократим общий множитель.

$\frac{5}{4} + 2 + \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot (1 + 1)} + \frac{20}{4 + 3}$

Этап 2.5.4.2.5

Перепишем это выражение.

$\frac{5}{4} + 2 + \frac{5}{1 + 1} + \frac{20}{4 + 3}$

Этап 2.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{5}{4} + 2 + \frac{5}{2} + \frac{20}{4 + 3}$

Этап 2.5.6

Добавим $4$ и $3$ .

$\frac{5}{4} + 2 + \frac{5}{2} + \frac{20}{7}$

Этап 2.6

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Умножим $\frac{5}{4}$ на $\frac{7}{7}$ .

$\frac{5}{4} \cdot \frac{7}{7} + 2 + \frac{5}{2} + \frac{20}{7}$

Этап 2.6.2

Умножим $\frac{5}{4}$ на $\frac{7}{7}$ .

$\frac{5 \cdot 7}{4 \cdot 7} + 2 + \frac{5}{2} + \frac{20}{7}$

Этап 2.6.3

Запишем $2$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{5 \cdot 7}{4 \cdot 7} + \frac{2}{1} + \frac{5}{2} + \frac{20}{7}$

Этап 2.6.4

Умножим $\frac{2}{1}$ на $\frac{28}{28}$ .

$\frac{5 \cdot 7}{4 \cdot 7} + \frac{2}{1} \cdot \frac{28}{28} + \frac{5}{2} + \frac{20}{7}$

Этап 2.6.5

Умножим $\frac{2}{1}$ на $\frac{28}{28}$ .

$\frac{5 \cdot 7}{4 \cdot 7} + \frac{2 \cdot 28}{28} + \frac{5}{2} + \frac{20}{7}$

Этап 2.6.6

Умножим $\frac{5}{2}$ на $\frac{14}{14}$ .

$\frac{5 \cdot 7}{4 \cdot 7} + \frac{2 \cdot 28}{28} + \frac{5}{2} \cdot \frac{14}{14} + \frac{20}{7}$

Этап 2.6.7

Умножим $\frac{5}{2}$ на $\frac{14}{14}$ .

$\frac{5 \cdot 7}{4 \cdot 7} + \frac{2 \cdot 28}{28} + \frac{5 \cdot 14}{2 \cdot 14} + \frac{20}{7}$

Этап 2.6.8

Умножим $\frac{20}{7}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{5 \cdot 7}{4 \cdot 7} + \frac{2 \cdot 28}{28} + \frac{5 \cdot 14}{2 \cdot 14} + \frac{20}{7} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 2.6.9

Умножим $\frac{20}{7}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{5 \cdot 7}{4 \cdot 7} + \frac{2 \cdot 28}{28} + \frac{5 \cdot 14}{2 \cdot 14} + \frac{20 \cdot 4}{7 \cdot 4}$

Этап 2.6.10

Умножим $4$ на $7$ .

$\frac{5 \cdot 7}{28} + \frac{2 \cdot 28}{28} + \frac{5 \cdot 14}{2 \cdot 14} + \frac{20 \cdot 4}{7 \cdot 4}$

Этап 2.6.11

Умножим $2$ на $14$ .

$\frac{5 \cdot 7}{28} + \frac{2 \cdot 28}{28} + \frac{5 \cdot 14}{28} + \frac{20 \cdot 4}{7 \cdot 4}$

Этап 2.6.12

Изменим порядок множителей в $7 \cdot 4$ .

$\frac{5 \cdot 7}{28} + \frac{2 \cdot 28}{28} + \frac{5 \cdot 14}{28} + \frac{20 \cdot 4}{4 \cdot 7}$

Этап 2.6.13

Умножим $4$ на $7$ .

$\frac{5 \cdot 7}{28} + \frac{2 \cdot 28}{28} + \frac{5 \cdot 14}{28} + \frac{20 \cdot 4}{28}$

Этап 2.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{5 \cdot 7 + 2 \cdot 28 + 5 \cdot 14 + 20 \cdot 4}{28}$

Этап 2.8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Умножим $5$ на $7$ .

$\frac{35 + 2 \cdot 28 + 5 \cdot 14 + 20 \cdot 4}{28}$

Этап 2.8.2

Умножим $2$ на $28$ .

$\frac{35 + 56 + 5 \cdot 14 + 20 \cdot 4}{28}$

Этап 2.8.3

Умножим $5$ на $14$ .

$\frac{35 + 56 + 70 + 20 \cdot 4}{28}$

Этап 2.8.4

Умножим $20$ на $4$ .

$\frac{35 + 56 + 70 + 80}{28}$

Этап 2.9

Добавим $35$ и $56$ .

$\frac{91 + 70 + 80}{28}$

Этап 2.10

Добавим $91$ и $70$ .

$\frac{161 + 80}{28}$

Этап 2.11

Добавим $161$ и $80$ .

$\frac{241}{28}$

Этап 3

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{241}{28}$

Десятичная форма:

$8.60714285 \dots$

Форма смешанных чисел:

$8 \frac{17}{28}$