Математический анализ Примеры

$\sin (\frac{t}{\sqrt{t + 2}})$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{t + 2}$ в виде ${(t + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [\sin (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}})]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = \sin (t)$ и $g (t) = \frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d t} [\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 2.2

Производная $\sin (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d t} [\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{d}{d t} [\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ имеет вид $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , где $f (t) = t$ и $g (t) = {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(t + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4

Перемножим экспоненты в ${({(t + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}]}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель.

$\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}]}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.2.2

Перепишем это выражение.

$\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}]}{{(t + 2)}^{1}}$

Этап 5

Упростим.

$\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}]}{t + 2}$

Этап 6

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}]}{t + 2}$

Этап 6.2

Умножим ${(t + 2)}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}} - t \frac{d}{d t} [{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}]}{t + 2}$

Этап 7

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $t + 2$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [t + 2])}{t + 2}$

Этап 7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t + 2])}{t + 2}$

Этап 7.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $t + 2$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t + 2])}{t + 2}$

Этап 8

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 2])}{t + 2}$

Этап 9

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 2])}{t + 2}$

Этап 10

Объединим числители над общим знаменателем.

$\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 2])}{t + 2}$

Этап 11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 2])}{t + 2}$

Этап 11.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 2)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [t + 2])}{t + 2}$

Этап 12

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 2)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t + 2])}{t + 2}$

Этап 12.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(t + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{{(t + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [t + 2])}{t + 2}$

Этап 12.3

Перенесем ${(t + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t + 2])}{t + 2}$

Этап 12.4

Объединим $\frac{1}{2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ и $t$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t + 2]}{t + 2}$

Этап 13

По правилу суммы производная $t + 2$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2])}{t + 2}$

Этап 14

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d t} [2])}{t + 2}$

Этап 15

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2$ относительно $t$ равна $0$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)}{t + 2}$

Этап 16

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1}{t + 2}$

Этап 16.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 2}$

Этап 17

Чтобы записать ${(t + 2)}^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{t}{2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 2}$

Этап 18

Объединим ${(t + 2)}^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{t}{2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 2}$

Этап 19

Объединим числители над общим знаменателем.

$\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}) - t}{2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 2}$

Этап 20

Умножим ${(t + 2)}^{\frac{1}{2}}$ на ${(t + 2)}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.1

Перенесем ${(t + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}} {(t + 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - t}{2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 2}$

Этап 20.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{{(t + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2 - t}{2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 2}$

Этап 20.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{{(t + 2)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2 - t}{2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 2}$

Этап 20.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{{(t + 2)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2 - t}{2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 2}$

Этап 20.5

Разделим $2$ на $2$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{{(t + 2)}^{1} \cdot 2 - t}{2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 2}$

Этап 21

Упростим ${(t + 2)}^{1} \cdot 2$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{(t + 2) \cdot 2 - t}{2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 2}$

Этап 22

Перенесем $2$ влево от $t + 2$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{2 \cdot (t + 2) - t}{2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 2}$

Этап 23

Перепишем $\frac{\frac{2 (t + 2) - t}{2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 2}$ в виде произведения.

$\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) (\frac{2 (t + 2) - t}{2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{t + 2})$

Этап 24

Умножим $\frac{2 (t + 2) - t}{2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{1}{t + 2}$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{2 (t + 2) - t}{2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}} (t + 2)}$

Этап 25

Возведем $t + 2$ в степень $1$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{2 (t + 2) - t}{2 ({(t + 2)}^{1} {(t + 2)}^{\frac{1}{2}})}$

Этап 26

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{2 (t + 2) - t}{2 {(t + 2)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Этап 27

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 27.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{2 (t + 2) - t}{2 {(t + 2)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Этап 27.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{2 (t + 2) - t}{2 {(t + 2)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Этап 27.3

Добавим $2$ и $1$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{2 (t + 2) - t}{2 {(t + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 28

Объединим $\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}})$ и $\frac{2 (t + 2) - t}{2 {(t + 2)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) (2 (t + 2) - t)}{2 {(t + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 29

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 29.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) (2 t + 2 \cdot 2 - t)}{2 {(t + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 29.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 29.2.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) (2 t + 4 - t)}{2 {(t + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 29.2.2

Вычтем $t$ из $2 t$ .

$\frac{\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 4)}{2 {(t + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 29.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) t + \cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \cdot 4}{2 {(t + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 29.2.4

Перенесем $4$ влево от $\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}})$ .

$\frac{\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) t + 4 \cdot \cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(t + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 29.2.5

Изменим порядок множителей в $\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) t + 4 \cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}})$ .

$\frac{t \cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) + 4 \cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(t + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 29.3

Вынесем множитель $\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}})$ из $t \cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) + 4 \cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 29.3.1

Вынесем множитель $\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}})$ из $t \cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}})$ .

$\frac{\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) t + 4 \cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(t + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 29.3.2

Вынесем множитель $\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}})$ из $4 \cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}})$ .

$\frac{\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) t + \cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \cdot 4}{2 {(t + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 29.3.3

Вынесем множитель $\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}})$ из $\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) t + \cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \cdot 4$ .

$\frac{\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 4)}{2 {(t + 2)}^{\frac{3}{2}}}$