Математический анализ Примеры

$\frac{{(3 t - 10)}^{9}}{t + 3}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ имеет вид $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , где $f (t) = {(3 t - 10)}^{9}$ и $g (t) = t + 3$ .

$\frac{(t + 3) \frac{d}{d t} [{(3 t - 10)}^{9}] - {(3 t - 10)}^{9} \frac{d}{d t} [t + 3]}{{(t + 3)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = t^{9}$ и $g (t) = 3 t - 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 t - 10$ .

$\frac{(t + 3) (\frac{d}{d u} [u^{9}] \frac{d}{d t} [3 t - 10]) - {(3 t - 10)}^{9} \frac{d}{d t} [t + 3]}{{(t + 3)}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 9$ .

$\frac{(t + 3) (9 u^{8} \frac{d}{d t} [3 t - 10]) - {(3 t - 10)}^{9} \frac{d}{d t} [t + 3]}{{(t + 3)}^{2}}$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 t - 10$ .

$\frac{(t + 3) (9 {(3 t - 10)}^{8} \frac{d}{d t} [3 t - 10]) - {(3 t - 10)}^{9} \frac{d}{d t} [t + 3]}{{(t + 3)}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем $9$ влево от $t + 3$ .

$\frac{9 \cdot (t + 3) {(3 t - 10)}^{8} \frac{d}{d t} [3 t - 10] - {(3 t - 10)}^{9} \frac{d}{d t} [t + 3]}{{(t + 3)}^{2}}$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $3 t - 10$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 10]$ .

$\frac{9 (t + 3) {(3 t - 10)}^{8} (\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 10]) - {(3 t - 10)}^{9} \frac{d}{d t} [t + 3]}{{(t + 3)}^{2}}$

Этап 3.3

Поскольку $3$ является константой относительно $t$ , производная $3 t$ по $t$ равна $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{9 (t + 3) {(3 t - 10)}^{8} (3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 10]) - {(3 t - 10)}^{9} \frac{d}{d t} [t + 3]}{{(t + 3)}^{2}}$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{9 (t + 3) {(3 t - 10)}^{8} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 10]) - {(3 t - 10)}^{9} \frac{d}{d t} [t + 3]}{{(t + 3)}^{2}}$

Этап 3.5

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{9 (t + 3) {(3 t - 10)}^{8} (3 + \frac{d}{d t} [- 10]) - {(3 t - 10)}^{9} \frac{d}{d t} [t + 3]}{{(t + 3)}^{2}}$

Этап 3.6

Поскольку $- 10$ является константой относительно $t$ , производная $- 10$ относительно $t$ равна $0$ .

$\frac{9 (t + 3) {(3 t - 10)}^{8} (3 + 0) - {(3 t - 10)}^{9} \frac{d}{d t} [t + 3]}{{(t + 3)}^{2}}$

Этап 3.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Добавим $3$ и $0$ .

$\frac{9 (t + 3) {(3 t - 10)}^{8} \cdot 3 - {(3 t - 10)}^{9} \frac{d}{d t} [t + 3]}{{(t + 3)}^{2}}$

Этап 3.7.2

Умножим $3$ на $9$ .

$\frac{27 (t + 3) {(3 t - 10)}^{8} - {(3 t - 10)}^{9} \frac{d}{d t} [t + 3]}{{(t + 3)}^{2}}$

Этап 3.8

По правилу суммы производная $t + 3$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$\frac{27 (t + 3) {(3 t - 10)}^{8} - {(3 t - 10)}^{9} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3])}{{(t + 3)}^{2}}$

Этап 3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{27 (t + 3) {(3 t - 10)}^{8} - {(3 t - 10)}^{9} (1 + \frac{d}{d t} [3])}{{(t + 3)}^{2}}$

Этап 3.10

Поскольку $3$ является константой относительно $t$ , производная $3$ относительно $t$ равна $0$ .

$\frac{27 (t + 3) {(3 t - 10)}^{8} - {(3 t - 10)}^{9} (1 + 0)}{{(t + 3)}^{2}}$

Этап 3.11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{27 (t + 3) {(3 t - 10)}^{8} - {(3 t - 10)}^{9} \cdot 1}{{(t + 3)}^{2}}$

Этап 3.11.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{27 (t + 3) {(3 t - 10)}^{8} - {(3 t - 10)}^{9}}{{(t + 3)}^{2}}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(27 t + 27 \cdot 3) {(3 t - 10)}^{8} - {(3 t - 10)}^{9}}{{(t + 3)}^{2}}$

Этап 4.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель ${(3 t - 10)}^{8}$ из $(27 t + 27 \cdot 3) {(3 t - 10)}^{8} - {(3 t - 10)}^{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Вынесем множитель ${(3 t - 10)}^{8}$ из $(27 t + 27 \cdot 3) {(3 t - 10)}^{8}$ .

$\frac{{(3 t - 10)}^{8} (27 t + 27 \cdot 3) - {(3 t - 10)}^{9}}{{(t + 3)}^{2}}$

Этап 4.2.1.2

Вынесем множитель ${(3 t - 10)}^{8}$ из $- {(3 t - 10)}^{9}$ .

$\frac{{(3 t - 10)}^{8} (27 t + 27 \cdot 3) + {(3 t - 10)}^{8} (- (3 t - 10))}{{(t + 3)}^{2}}$

Этап 4.2.1.3

Вынесем множитель ${(3 t - 10)}^{8}$ из ${(3 t - 10)}^{8} (27 t + 27 \cdot 3) + {(3 t - 10)}^{8} (- (3 t - 10))$ .

$\frac{{(3 t - 10)}^{8} (27 t + 27 \cdot 3 - (3 t - 10))}{{(t + 3)}^{2}}$

Этап 4.2.2

Умножим $27$ на $3$ .

$\frac{{(3 t - 10)}^{8} (27 t + 81 - (3 t - 10))}{{(t + 3)}^{2}}$

Этап 4.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{{(3 t - 10)}^{8} (27 t + 81 - (3 t) - - 10)}{{(t + 3)}^{2}}$

Этап 4.2.4

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{{(3 t - 10)}^{8} (27 t + 81 - 3 t - - 10)}{{(t + 3)}^{2}}$

Этап 4.2.5

Умножим $- 1$ на $- 10$ .

$\frac{{(3 t - 10)}^{8} (27 t + 81 - 3 t + 10)}{{(t + 3)}^{2}}$

Этап 4.2.6

Вычтем $3 t$ из $27 t$ .

$\frac{{(3 t - 10)}^{8} (24 t + 81 + 10)}{{(t + 3)}^{2}}$

Этап 4.2.7

Добавим $81$ и $10$ .

$\frac{{(3 t - 10)}^{8} (24 t + 91)}{{(t + 3)}^{2}}$