Математический анализ Примеры

$y = x^{3} - 7 x^{2} - 24 x + 1$

Этап 1

Запишем $y = x^{3} - 7 x^{2} - 24 x + 1$ в виде функции.

$f (x) = x^{3} - 7 x^{2} - 24 x + 1$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

По правилу суммы производная $x^{3} - 7 x^{2} - 24 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 7 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 7 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7 x^{2}$ по $x$ равна $- 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 7 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 7 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.1.2.3

Умножим $2$ на $- 7$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 14 x + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $- 24$ является константой относительно $x$ , производная $- 24 x$ по $x$ равна $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 14 x - 24 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 14 x - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.1.3.3

Умножим $- 24$ на $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 14 x - 24 + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 14 x - 24 + 0$

Этап 2.1.4.2

Добавим $3 x^{2} - 14 x - 24$ и $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 14 x - 24$

Этап 2.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $3 x^{2} - 14 x - 24$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14 x] + \frac{d}{d x} [- 24]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 14 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Этап 2.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 14 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Этап 2.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 14 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Этап 2.2.2.3

Умножим $2$ на $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 14 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Этап 2.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 14 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Поскольку $- 14$ является константой относительно $x$ , производная $- 14 x$ по $x$ равна $- 14 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x - 14 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 24)$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x - 14 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 24)$

Этап 2.2.3.3

Умножим $- 14$ на $1$ .

$f'' (x) = 6 x - 14 + \frac{d}{d x} (- 24)$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Поскольку $- 24$ является константой относительно $x$ , производная $- 24$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 14 + 0$

Этап 2.2.4.2

Добавим $6 x - 14$ и $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 14$

Этап 2.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $6 x - 14$ .

$6 x - 14$

Этап 3

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $6 x - 14 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$6 x - 14 = 0$

Этап 3.2

Добавим $14$ к обеим частям уравнения.

$6 x = 14$

Этап 3.3

Разделим каждый член $6 x = 14$ на $6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $6 x = 14$ на $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{14}{6}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 x}{6} = \frac{14}{6}$

Этап 3.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{14}{6}$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Сократим общий множитель $14$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $14$ .

$x = \frac{2 (7)}{6}$

Этап 3.3.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$x = \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 3}$

Этап 3.3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 3}$

Этап 3.3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{7}{3}$

Этап 4

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $\frac{7}{3}$ в $f (x) = x^{3} - 7 x^{2} - 24 x + 1$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{7}{3}$ .

$f (\frac{7}{3}) = {(\frac{7}{3})}^{3} - 7 {(\frac{7}{3})}^{2} - 24 (\frac{7}{3}) + 1$

Этап 4.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{7}{3}$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{7^{3}}{3^{3}} - 7 {(\frac{7}{3})}^{2} - 24 (\frac{7}{3}) + 1$

Этап 4.1.2.1.2

Возведем $7$ в степень $3$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{343}{3^{3}} - 7 {(\frac{7}{3})}^{2} - 24 (\frac{7}{3}) + 1$

Этап 4.1.2.1.3

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{343}{27} - 7 {(\frac{7}{3})}^{2} - 24 (\frac{7}{3}) + 1$

Этап 4.1.2.1.4

Применим правило умножения к $\frac{7}{3}$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{343}{27} - 7 \frac{7^{2}}{3^{2}} - 24 (\frac{7}{3}) + 1$

Этап 4.1.2.1.5

Возведем $7$ в степень $2$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{343}{27} - 7 \frac{49}{3^{2}} - 24 (\frac{7}{3}) + 1$

Этап 4.1.2.1.6

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{343}{27} - 7 (\frac{49}{9}) - 24 (\frac{7}{3}) + 1$

Этап 4.1.2.1.7

Умножим $- 7 (\frac{49}{9})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.7.1

Объединим $- 7$ и $\frac{49}{9}$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{343}{27} + \frac{- 7 \cdot 49}{9} - 24 (\frac{7}{3}) + 1$

Этап 4.1.2.1.7.2

Умножим $- 7$ на $49$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{343}{27} + \frac{- 343}{9} - 24 (\frac{7}{3}) + 1$

Этап 4.1.2.1.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{7}{3}) = \frac{343}{27} - \frac{343}{9} - 24 (\frac{7}{3}) + 1$

Этап 4.1.2.1.9

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.9.1

Вынесем множитель $3$ из $- 24$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{343}{27} - \frac{343}{9} + 3 (- 8) (\frac{7}{3}) + 1$

Этап 4.1.2.1.9.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{7}{3}) = \frac{343}{27} - \frac{343}{9} + 3 \cdot (- 8 (\frac{7}{3})) + 1$

Этап 4.1.2.1.9.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{7}{3}) = \frac{343}{27} - \frac{343}{9} - 8 \cdot 7 + 1$

Этап 4.1.2.1.10

Умножим $- 8$ на $7$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{343}{27} - \frac{343}{9} - 56 + 1$

Этап 4.1.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Умножим $\frac{343}{9}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{343}{27} - (\frac{343}{9} \cdot \frac{3}{3}) - 56 + 1$

Этап 4.1.2.2.2

Умножим $\frac{343}{9}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{343}{27} - \frac{343 \cdot 3}{9 \cdot 3} - 56 + 1$

Этап 4.1.2.2.3

Запишем $- 56$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{343}{27} - \frac{343 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 56}{1} + 1$

Этап 4.1.2.2.4

Умножим $\frac{- 56}{1}$ на $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{343}{27} - \frac{343 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 56}{1} \cdot \frac{27}{27} + 1$

Этап 4.1.2.2.5

Умножим $\frac{- 56}{1}$ на $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{343}{27} - \frac{343 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 56 \cdot 27}{27} + 1$

Этап 4.1.2.2.6

Запишем $1$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{343}{27} - \frac{343 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 56 \cdot 27}{27} + \frac{1}{1}$

Этап 4.1.2.2.7

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{343}{27} - \frac{343 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 56 \cdot 27}{27} + \frac{1}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Этап 4.1.2.2.8

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{343}{27} - \frac{343 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 56 \cdot 27}{27} + \frac{27}{27}$

Этап 4.1.2.2.9

Изменим порядок множителей в $9 \cdot 3$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{343}{27} - \frac{343 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{- 56 \cdot 27}{27} + \frac{27}{27}$

Этап 4.1.2.2.10

Умножим $3$ на $9$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{343}{27} - \frac{343 \cdot 3}{27} + \frac{- 56 \cdot 27}{27} + \frac{27}{27}$

Этап 4.1.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{7}{3}) = \frac{343 - 343 \cdot 3 - 56 \cdot 27 + 27}{27}$

Этап 4.1.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.4.1

Умножим $- 343$ на $3$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{343 - 1029 - 56 \cdot 27 + 27}{27}$

Этап 4.1.2.4.2

Умножим $- 56$ на $27$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{343 - 1029 - 1512 + 27}{27}$

Этап 4.1.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.5.1

Вычтем $1029$ из $343$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{- 686 - 1512 + 27}{27}$

Этап 4.1.2.5.2

Вычтем $1512$ из $- 686$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{- 2198 + 27}{27}$

Этап 4.1.2.5.3

Добавим $- 2198$ и $27$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{- 2171}{27}$

Этап 4.1.2.5.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{7}{3}) = - \frac{2171}{27}$

Этап 4.1.2.6

Окончательный ответ: $- \frac{2171}{27}$ .

$- \frac{2171}{27}$

Этап 4.2

Подставляя $\frac{7}{3}$ в $f (x) = x^{3} - 7 x^{2} - 24 x + 1$ , найдем точку $(\frac{7}{3}, - \frac{2171}{27})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(\frac{7}{3}, - \frac{2171}{27})$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, \frac{7}{3}) \cup (\frac{7}{3}, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, \frac{7}{3})$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2.2\overline{3}$ .

$f'' (2.2\overline{3}) = 6 (2.2\overline{3}) - 14$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $6$ на $2.2\overline{3}$ .

$f'' (2.2\overline{3}) = 13.4 - 14$

Этап 6.2.2

Вычтем $14$ из $13.4$ .

$f'' (2.2\overline{3}) = - 0.5\overline{9}$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- 0.5\overline{9}$ .

$- 0.5\overline{9}$

Этап 6.3

При $2.2\overline{3}$ вторая производная имеет вид $- 0.5\overline{9}$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- \infty, \frac{7}{3})$ .

Убывание на $(- \infty, \frac{7}{3})$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(\frac{7}{3}, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2.4\overline{3}$ .

$f'' (2.4\overline{3}) = 6 (2.4\overline{3}) - 14$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $6$ на $2.4\overline{3}$ .

$f'' (2.4\overline{3}) = 14.6 - 14$

Этап 7.2.2

Вычтем $14$ из $14.6$ .

$f'' (2.4\overline{3}) = 0.6$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $0.6$ .

$0.6$

Этап 7.3

При $2.4\overline{3}$ вторая производная имеет вид $0.6$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(\frac{7}{3}, \infty)$ .

Возрастание в области $(\frac{7}{3}, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 8

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. В этом случае точкой перегиба является точка $(\frac{7}{3}, - \frac{2171}{27})$ .

$(\frac{7}{3}, - \frac{2171}{27})$

Этап 9