Математический анализ Примеры

$\frac{2 x^{2} - 3}{x^{2} - 1}$

Этап 1

Запишем $\frac{2 x^{2} - 3}{x^{2} - 1}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{2 x^{2} - 3}{x^{2} - 1}$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 2 x^{2} - 3$ и $g (x) = x^{2} - 1$ .

$\frac{(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 3] - (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $2 x^{2} - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 2.2.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 2.2.4

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (4 x + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 2.2.5

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (4 x + 0) - (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 2.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Добавим $4 x$ и $0$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (4 x) - (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 2.2.6.2

Перенесем $4$ влево от $x^{2} - 1$ .

$\frac{4 \cdot (x^{2} - 1) x - (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 2.2.7

По правилу суммы производная $x^{2} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{4 (x^{2} - 1) x - (2 x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 2.2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{4 (x^{2} - 1) x - (2 x^{2} - 3) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 2.2.9

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{4 (x^{2} - 1) x - (2 x^{2} - 3) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 2.2.10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.10.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{4 (x^{2} - 1) x - (2 x^{2} - 3) (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 2.2.10.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{4 (x^{2} - 1) x - 2 (2 x^{2} - 3) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(4 x^{2} + 4 \cdot - 1) x - 2 (2 x^{2} - 3) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 2.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 x^{2} x + 4 \cdot - 1 x - 2 (2 x^{2} - 3) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 2.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 x^{2} x + 4 \cdot - 1 x + (- 2 (2 x^{2}) - 2 \cdot - 3) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 2.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 x^{2} x + 4 \cdot - 1 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 3 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 2.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{4 (x \cdot x^{2}) + 4 \cdot - 1 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 3 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 2.3.5.1.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{4 (x^{1} x^{2}) + 4 \cdot - 1 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 3 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 2.3.5.1.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 x^{1 + 2} + 4 \cdot - 1 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 3 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 2.3.5.1.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{4 x^{3} + 4 \cdot - 1 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 3 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 2.3.5.1.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 3 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 2.3.5.1.3

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1.3.1

Перенесем $x$ .

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 2 (2 (x \cdot x^{2})) - 2 \cdot - 3 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 2.3.5.1.3.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 2 (2 (x^{1} x^{2})) - 2 \cdot - 3 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 2.3.5.1.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 2 (2 x^{1 + 2}) - 2 \cdot - 3 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 2.3.5.1.3.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 2 (2 x^{3}) - 2 \cdot - 3 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 2.3.5.1.4

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 4 x^{3} - 2 \cdot - 3 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 2.3.5.1.5

Умножим $- 2$ на $- 3$ .

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 4 x^{3} + 6 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 2.3.5.2

Объединим противоположные члены в $4 x^{3} - 4 x - 4 x^{3} + 6 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.1

Вычтем $4 x^{3}$ из $4 x^{3}$ .

$\frac{- 4 x + 0 + 6 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 2.3.5.2.2

Добавим $- 4 x$ и $0$ .

$\frac{- 4 x + 6 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 2.3.5.3

Добавим $- 4 x$ и $6 x$ .

$\frac{2 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 2.3.6

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{2 x}{{(x^{2} - 1^{2})}^{2}}$

Этап 2.3.6.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\frac{2 x}{{((x + 1) (x - 1))}^{2}}$

Этап 2.3.6.3

Применим правило умножения к $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{2 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}})$

Этап 3.2

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}})$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}})$

Этап 3.3.2

Умножим ${(x + 1)}^{2}$ на $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}})$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = {(x + 1)}^{2}$ и $g (x) = {(x - 1)}^{2}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x ({(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{2}) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2}))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}})$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x - 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x ({(x + 1)}^{2} (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (x - 1)) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2}))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}})$

Этап 3.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x ({(x + 1)}^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} (x - 1)) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2}))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}})$

Этап 3.5.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x - 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x ({(x + 1)}^{2} (2 (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 1)) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2}))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}})$

Этап 3.6

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Перенесем $2$ влево от ${(x + 1)}^{2}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 \cdot ({(x + 1)}^{2} (x - 1)) \frac{d}{d x} (x - 1) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2}))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}})$

Этап 3.6.2

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2}))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}})$

Этап 3.6.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 1)) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2}))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}})$

Этап 3.6.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) (1 + 0) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2}))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}})$

Этап 3.6.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.5.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) \cdot 1 + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2}))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}})$

Этап 3.6.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2}))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}})$

Этап 3.7

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x + 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + {(x - 1)}^{2} (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{2}) \frac{d}{d x} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}})$

Этап 3.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + {(x - 1)}^{2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}})$

Этап 3.7.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x + 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + {(x - 1)}^{2} (2 (x + 1) \frac{d}{d x} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}})$

Этап 3.8

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Перенесем $2$ влево от ${(x - 1)}^{2}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 \cdot ({(x - 1)}^{2} (x + 1)) \frac{d}{d x} (x + 1))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}})$

Этап 3.8.2

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}})$

Этап 3.8.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} (1)))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}})$

Этап 3.8.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1) (1 + 0))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}})$

Этап 3.8.5

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.5.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1) \cdot 1)}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}})$

Этап 3.8.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}})$

Этап 3.8.5.3

Объединим $2$ и $\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Применим правило умножения к ${(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.9.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{2 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1)) - x (2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.9.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{2 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}) + 2 (- x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1))) + 2 (- x (2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.9.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.4.1

Вынесем множитель $2 (x + 1) (x - 1)$ из $2 {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} + 2 (- x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1))) + 2 (- x (2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.4.1.1

Вынесем множитель $2 (x + 1) (x - 1)$ из $2 {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1)) + 2 (- x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1))) + 2 (- x (2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.9.4.1.2

Вынесем множитель $2 (x + 1) (x - 1)$ из $2 (- x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1)))$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1)) + 2 (x + 1) (x - 1) (- x (2 (x + 1))) + 2 (- x (2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.9.4.1.3

Вынесем множитель $2 (x + 1) (x - 1)$ из $2 (- x (2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1)) + 2 (x + 1) (x - 1) (- x (2 (x + 1))) + 2 (x + 1) (x - 1) (- x (2 (x - 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.9.4.1.4

Вынесем множитель $2 (x + 1) (x - 1)$ из $2 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1)) + 2 (x + 1) (x - 1) (- x (2 (x + 1)))$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1) - x (2 (x + 1))) + 2 (x + 1) (x - 1) (- x (2 (x - 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.9.4.1.5

Вынесем множитель $2 (x + 1) (x - 1)$ из $2 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1) - x (2 (x + 1))) + 2 (x + 1) (x - 1) (- x (2 (x - 1)))$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1) - x (2 (x + 1)) - x (2 (x - 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.9.4.2

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.4.2.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1) - 2 x (x + 1) - x (2 (x - 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.9.4.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1) - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.9.4.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.4.3.1

Развернем $(x + 1) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.4.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x (x - 1) + 1 (x - 1) - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.9.4.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.9.4.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.9.4.3.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.4.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.4.3.2.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.9.4.3.2.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.9.4.3.2.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.9.4.3.2.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.9.4.3.2.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - x + x - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.9.4.3.2.2

Добавим $- x$ и $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 0 - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.9.4.3.2.3

Добавим $x^{2}$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.9.4.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 1 - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.9.4.3.4

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.4.3.4.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 1 - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.9.4.3.4.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x \cdot 1 - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.9.4.3.5

Умножим $- 2$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.9.4.3.6

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1)}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.9.4.3.7

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.4.3.7.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 1)}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.9.4.3.7.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 1)}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.9.4.3.8

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 x^{2} + 2 x)}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.9.4.4

Объединим противоположные члены в $x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 x^{2} + 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.4.4.1

Добавим $- 2 x$ и $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 0)}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.9.4.4.2

Добавим $x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x^{2}$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x^{2})}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.9.4.5

Вычтем $2 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) (- x^{2} - 1 - 2 x^{2})}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.9.4.6

Вычтем $2 x^{2}$ из $- x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.9.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.5.1

Перемножим экспоненты в ${({(x + 1)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.5.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{2 \cdot 2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.9.5.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{4} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.9.5.2

Перемножим экспоненты в ${({(x - 1)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.5.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{2 \cdot 2}}$

Этап 3.9.5.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4}}$

Этап 3.9.5.3

Сократим общий множитель $x + 1$ и ${(x + 1)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.5.3.1

Вынесем множитель $x + 1$ из $2 (x + 1) (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 1) ((2 (x - 1)) (- 3 x^{2} - 1))}{{(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4}}$

Этап 3.9.5.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.5.3.2.1

Вынесем множитель $x + 1$ из ${(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 1) ((2 (x - 1)) (- 3 x^{2} - 1))}{(x + 1) ({(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4})}$

Этап 3.9.5.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{(x + 1) ((2 (x - 1)) (- 3 x^{2} - 1))}{(x + 1) ({(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4})}$

Этап 3.9.5.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{(2 (x - 1)) (- 3 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4}}$

Этап 3.9.5.4

Сократим общий множитель $x - 1$ и ${(x - 1)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.5.4.1

Вынесем множитель $x - 1$ из $2 (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 1) (2 (- 3 x^{2} - 1))}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4}}$

Этап 3.9.5.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.5.4.2.1

Вынесем множитель $x - 1$ из ${(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 1) (2 (- 3 x^{2} - 1))}{(x - 1) ({(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3})}$

Этап 3.9.5.4.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{(x - 1) (2 (- 3 x^{2} - 1))}{(x - 1) ({(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3})}$

Этап 3.9.5.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{2 (- 3 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Этап 3.9.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (3 x^{2}) - 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Этап 3.9.7

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (3 x^{2}) - 1 \cdot 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Этап 3.9.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x^{2}) - 1 (1)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (3 x^{2} + 1))}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Этап 3.9.9

Перепишем $- (3 x^{2} + 1)$ в виде $- 1 (3 x^{2} + 1)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 1 (3 x^{2} + 1))}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Этап 3.9.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{2 (3 x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{2 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}} = 0$

Этап 5

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

$\frac{(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 3] - (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 5.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

По правилу суммы производная $2 x^{2} - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 5.1.2.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 5.1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 5.1.2.4

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (4 x + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 5.1.2.5

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (4 x + 0) - (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 5.1.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.6.1

Добавим $4 x$ и $0$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (4 x) - (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 5.1.2.6.2

Перенесем $4$ влево от $x^{2} - 1$ .

$\frac{4 \cdot (x^{2} - 1) x - (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 5.1.2.7

По правилу суммы производная $x^{2} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{4 (x^{2} - 1) x - (2 x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 5.1.2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{4 (x^{2} - 1) x - (2 x^{2} - 3) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 5.1.2.9

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{4 (x^{2} - 1) x - (2 x^{2} - 3) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 5.1.2.10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.10.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{4 (x^{2} - 1) x - (2 x^{2} - 3) (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 5.1.2.10.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{4 (x^{2} - 1) x - 2 (2 x^{2} - 3) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 5.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(4 x^{2} + 4 \cdot - 1) x - 2 (2 x^{2} - 3) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 5.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 x^{2} x + 4 \cdot - 1 x - 2 (2 x^{2} - 3) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 5.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 x^{2} x + 4 \cdot - 1 x + (- 2 (2 x^{2}) - 2 \cdot - 3) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 5.1.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 x^{2} x + 4 \cdot - 1 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 3 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 5.1.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.5.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.5.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{4 (x \cdot x^{2}) + 4 \cdot - 1 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 3 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 5.1.3.5.1.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.5.1.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{4 (x^{1} x^{2}) + 4 \cdot - 1 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 3 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 5.1.3.5.1.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 x^{1 + 2} + 4 \cdot - 1 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 3 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 5.1.3.5.1.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{4 x^{3} + 4 \cdot - 1 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 3 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 5.1.3.5.1.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 3 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 5.1.3.5.1.3

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.5.1.3.1

Перенесем $x$ .

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 2 (2 (x \cdot x^{2})) - 2 \cdot - 3 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 5.1.3.5.1.3.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.5.1.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 2 (2 (x^{1} x^{2})) - 2 \cdot - 3 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 5.1.3.5.1.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 2 (2 x^{1 + 2}) - 2 \cdot - 3 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 5.1.3.5.1.3.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 2 (2 x^{3}) - 2 \cdot - 3 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 5.1.3.5.1.4

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 4 x^{3} - 2 \cdot - 3 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 5.1.3.5.1.5

Умножим $- 2$ на $- 3$ .

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 4 x^{3} + 6 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 5.1.3.5.2

Объединим противоположные члены в $4 x^{3} - 4 x - 4 x^{3} + 6 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.5.2.1

Вычтем $4 x^{3}$ из $4 x^{3}$ .

$\frac{- 4 x + 0 + 6 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 5.1.3.5.2.2

Добавим $- 4 x$ и $0$ .

$\frac{- 4 x + 6 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 5.1.3.5.3

Добавим $- 4 x$ и $6 x$ .

$\frac{2 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 5.1.3.6

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.6.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{2 x}{{(x^{2} - 1^{2})}^{2}}$

Этап 5.1.3.6.2

$\frac{2 x}{{((x + 1) (x - 1))}^{2}}$

Этап 5.1.3.6.3

Применим правило умножения к $(x + 1) (x - 1)$ .

$f' (x) = \frac{2 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Этап 5.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{2 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Этап 6

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{2 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{2 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}} = 0$

Этап 6.2

Приравняем числитель к нулю.

$2 x = 0$

Этап 6.3

Разделим каждый член $2 x = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Разделим каждый член $2 x = 0$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 6.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 6.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Этап 6.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$x = 0$

Этап 7

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Зададим знаменатель в $\frac{2 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

${(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$

Этап 7.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

${(x - 1)}^{2} = 0$

Этап 7.2.2

Приравняем ${(x + 1)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Приравняем ${(x + 1)}^{2}$ к $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Этап 7.2.2.2

Решим ${(x + 1)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 7.2.2.2.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 7.2.3

Приравняем ${(x - 1)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Приравняем ${(x - 1)}^{2}$ к $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Этап 7.2.3.2

Решим ${(x - 1)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.2.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 7.2.3.2.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 7.2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых ${(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$ верно.

$x = - 1, 1$

Этап 7.3

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x = - 1, x = 1$

Этап 8

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0$

Этап 9

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \frac{2 (3 {(0)}^{2} + 1)}{{((0) + 1)}^{3} {((0) - 1)}^{3}}$

Этап 10

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{2 (3 \cdot 0 + 1)}{{(0 + 1)}^{3} {(0 - 1)}^{3}}$

Этап 10.1.2

Умножим $3$ на $0$ .

$- \frac{2 (0 + 1)}{{(0 + 1)}^{3} {(0 - 1)}^{3}}$

Этап 10.1.3

Добавим $0$ и $1$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{{(0 + 1)}^{3} {(0 - 1)}^{3}}$

Этап 10.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Перепишем $0$ в виде $- 1 (0)$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{{(- 1 (0) + 1)}^{3} {(0 - 1)}^{3}}$

Этап 10.2.2

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{{(- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 1)}^{3} {(0 - 1)}^{3}}$

Этап 10.2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 1$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{{(- 1 \cdot (0 - 1))}^{3} {(0 - 1)}^{3}}$

Этап 10.2.4

Применим правило умножения к $- 1 \cdot (0 - 1)$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{{(- 1)}^{3} \cdot {(0 - 1)}^{3} {(0 - 1)}^{3}}$

Этап 10.2.5

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{- 1 \cdot {(0 - 1)}^{3} {(0 - 1)}^{3}}$

Этап 10.2.6

Умножим ${(0 - 1)}^{3}$ на ${(0 - 1)}^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.6.1

Перенесем ${(0 - 1)}^{3}$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{- 1 \cdot ({(0 - 1)}^{3} {(0 - 1)}^{3})}$

Этап 10.2.6.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{2 \cdot 1}{- 1 \cdot {(0 - 1)}^{3 + 3}}$

Этап 10.2.6.3

Добавим $3$ и $3$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{- 1 \cdot {(0 - 1)}^{6}}$

Этап 10.3

Умножим $2$ на $1$ .

$- \frac{2}{- 1 \cdot {(0 - 1)}^{6}}$

Этап 10.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Вычтем $1$ из $0$ .

$- \frac{2}{- 1 {(- 1)}^{6}}$

Этап 10.4.2

Возведем $- 1$ в степень $6$ .

$- \frac{2}{- 1 \cdot 1}$

Этап 10.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{2}{- 1}$

Этап 10.5.2

Разделим $2$ на $- 1$ .

$- - 2$

Этап 10.5.3

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$2$

Этап 11

$x = 0$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0$ — локальный минимум

Этап 12

Найдем значение y, если $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = \frac{2 {(0)}^{2} - 3}{{(0)}^{2} - 1}$

Этап 12.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = \frac{2 \cdot 0 - 3}{0^{2} - 1}$

Этап 12.2.1.2

Умножим $2$ на $0$ .

$f (0) = \frac{0 - 3}{0^{2} - 1}$

Этап 12.2.1.3

Вычтем $3$ из $0$ .

$f (0) = \frac{- 3}{0^{2} - 1}$

Этап 12.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = \frac{- 3}{0 - 1}$

Этап 12.2.2.2

Вычтем $1$ из $0$ .

$f (0) = \frac{- 3}{- 1}$

Этап 12.2.3

Разделим $- 3$ на $- 1$ .

$f (0) = 3$

Этап 12.2.4

Окончательный ответ: $3$ .

$y = 3$

Этап 13

Это локальные экстремумы $f (x) = \frac{2 x^{2} - 3}{x^{2} - 1}$ .

$(0, 3)$ — локальный минимум

Этап 14