Математический анализ Примеры

$f (x) = - \frac{4 x - 7}{x}$

Этап 1

Запишем $f (x) = - \frac{4 x - 7}{x}$ в виде уравнения.

$y = - \frac{4 x - 7}{x}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = - \frac{4 y - 7}{y}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $- \frac{4 y - 7}{y} = x$ .

$- \frac{4 y - 7}{y} = x$

Этап 3.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y, 1$

Этап 3.2.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$y$

Этап 3.3

Каждый член в $- \frac{4 y - 7}{y} = x$ умножим на $y$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим каждый член $- \frac{4 y - 7}{y} = x$ на $y$ .

$- \frac{4 y - 7}{y} y = x y$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{4 y - 7}{y}$ в числитель.

$\frac{- (4 y - 7)}{y} y = x y$

Этап 3.3.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- (4 y - 7)}{y} y = x y$

Этап 3.3.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- (4 y - 7) = x y$

Этап 3.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- (4 y) - - 7 = x y$

Этап 3.3.2.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.3.1

Умножим $4$ на $- 1$ .

$- 4 y - - 7 = x y$

Этап 3.3.2.3.2

Умножим $- 1$ на $- 7$ .

$- 4 y + 7 = x y$

Этап 3.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вычтем $x y$ из обеих частей уравнения.

$- 4 y + 7 - x y = 0$

Этап 3.4.2

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$- 4 y - x y = - 7$

Этап 3.4.3

Вынесем множитель $y$ из $- 4 y - x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Вынесем множитель $y$ из $- 4 y$ .

$y \cdot - 4 - x y = - 7$

Этап 3.4.3.2

Вынесем множитель $y$ из $- x y$ .

$y \cdot - 4 + y (- x) = - 7$

Этап 3.4.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot - 4 + y (- x)$ .

$y (- 4 - x) = - 7$

Этап 3.4.4

Разделим каждый член $y (- 4 - x) = - 7$ на $- 4 - x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Разделим каждый член $y (- 4 - x) = - 7$ на $- 4 - x$ .

$\frac{y (- 4 - x)}{- 4 - x} = \frac{- 7}{- 4 - x}$

Этап 3.4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1

Сократим общий множитель $- 4 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (- 4 - x)}{- 4 - x} = \frac{- 7}{- 4 - x}$

Этап 3.4.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- 7}{- 4 - x}$

Этап 3.4.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{7}{- 4 - x}$

Этап 3.4.4.3.2

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$y = - \frac{7}{- 1 (4) - x}$

Этап 3.4.4.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$y = - \frac{7}{- 1 (4) - (x)}$

Этап 3.4.4.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (4) - (x)$ .

$y = - \frac{7}{- 1 (4 + x)}$

Этап 3.4.4.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.3.5.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - - \frac{7}{4 + x}$

Этап 3.4.4.3.5.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = 1 \frac{7}{4 + x}$

Этап 3.4.4.3.5.3

Умножим $\frac{7}{4 + x}$ на $1$ .

$y = \frac{7}{4 + x}$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{7}{4 + x}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{7}{4 + x}$ обратной к $f (x) = - \frac{4 x - 7}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (- \frac{4 x - 7}{x})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- \frac{4 x - 7}{x}) = \frac{7}{4 - \frac{4 x - 7}{x}}$

Этап 5.2.3

Избавимся от скобок.

$f^{- 1} (- \frac{4 x - 7}{x}) = \frac{7}{4 - \frac{4 x - 7}{x}}$

Этап 5.2.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Чтобы записать $4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$f^{- 1} (- \frac{4 x - 7}{x}) = \frac{7}{\frac{4 x}{x} - \frac{4 x - 7}{x}}$

Этап 5.2.4.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (- \frac{4 x - 7}{x}) = \frac{7}{\frac{4 x - (4 x - 7)}{x}}$

Этап 5.2.4.3

Перепишем $\frac{4 x - (4 x - 7)}{x}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (- \frac{4 x - 7}{x}) = \frac{7}{\frac{4 x - (4 x) + 7}{x}}$

Этап 5.2.4.3.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$f^{- 1} (- \frac{4 x - 7}{x}) = \frac{7}{\frac{4 x - 4 x + 7}{x}}$

Этап 5.2.4.3.3

Умножим $- 1$ на $- 7$ .

$f^{- 1} (- \frac{4 x - 7}{x}) = \frac{7}{\frac{4 x - 4 x + 7}{x}}$

Этап 5.2.4.3.4

Вычтем $4 x$ из $4 x$ .

$f^{- 1} (- \frac{4 x - 7}{x}) = \frac{7}{\frac{0 + 7}{x}}$

Этап 5.2.4.3.5

Добавим $0$ и $7$ .

$f^{- 1} (- \frac{4 x - 7}{x}) = \frac{7}{\frac{7}{x}}$

Этап 5.2.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f^{- 1} (- \frac{4 x - 7}{x}) = 7 (\frac{x}{7})$

Этап 5.2.6

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (- \frac{4 x - 7}{x}) = 7 (\frac{x}{7})$

Этап 5.2.6.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (- \frac{4 x - 7}{x}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{7}{4 + x})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{7}{4 + x}) = - \frac{4 (\frac{7}{4 + x}) - 7}{\frac{7}{4 + x}}$

Этап 5.3.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{7}{4 + x}) = - ((4 (\frac{7}{4 + x}) - 7) (\frac{4 + x}{7}))$

Этап 5.3.4

Умножим $4 \frac{7}{4 + x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Объединим $4$ и $\frac{7}{4 + x}$ .

$f (\frac{7}{4 + x}) = - ((\frac{4 \cdot 7}{4 + x} - 7) (\frac{4 + x}{7}))$

Этап 5.3.4.2

Умножим $4$ на $7$ .

$f (\frac{7}{4 + x}) = - ((\frac{28}{4 + x} - 7) (\frac{4 + x}{7}))$

Этап 5.3.5

Чтобы записать $- 7$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4 + x}{4 + x}$ .

$f (\frac{7}{4 + x}) = - ((\frac{28}{4 + x} - 7 \cdot \frac{4 + x}{4 + x}) (\frac{4 + x}{7}))$

Этап 5.3.6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.1

Объединим $- 7$ и $\frac{4 + x}{4 + x}$ .

$f (\frac{7}{4 + x}) = - ((\frac{28}{4 + x} + \frac{- 7 (4 + x)}{4 + x}) (\frac{4 + x}{7}))$

Этап 5.3.6.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{7}{4 + x}) = - (\frac{28 - 7 (4 + x)}{4 + x} \cdot \frac{4 + x}{7})$

Этап 5.3.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.1

Вынесем множитель $7$ из $28 - 7 (4 + x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.1.1

Вынесем множитель $7$ из $28$ .

$f (\frac{7}{4 + x}) = - (\frac{7 (4) - 7 (4 + x)}{4 + x} \cdot \frac{4 + x}{7})$

Этап 5.3.7.1.2

Вынесем множитель $7$ из $- 7 (4 + x)$ .

$f (\frac{7}{4 + x}) = - (\frac{7 (4) + 7 (- (4 + x))}{4 + x} \cdot \frac{4 + x}{7})$

Этап 5.3.7.1.3

Вынесем множитель $7$ из $7 (4) + 7 (- (4 + x))$ .

$f (\frac{7}{4 + x}) = - (\frac{7 (4 - (4 + x))}{4 + x} \cdot \frac{4 + x}{7})$

Этап 5.3.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{7}{4 + x}) = - (\frac{7 (4 - 1 \cdot 4 - x)}{4 + x} \cdot \frac{4 + x}{7})$

Этап 5.3.7.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f (\frac{7}{4 + x}) = - (\frac{7 (4 - 4 - x)}{4 + x} \cdot \frac{4 + x}{7})$

Этап 5.3.7.4

Вычтем $4$ из $4$ .

$f (\frac{7}{4 + x}) = - (\frac{7 (0 - x)}{4 + x} \cdot \frac{4 + x}{7})$

Этап 5.3.7.5

Вычтем $x$ из $0$ .

$f (\frac{7}{4 + x}) = - (\frac{7 \cdot (- 1 x)}{4 + x} \cdot \frac{4 + x}{7})$

Этап 5.3.7.6

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.6.1

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$f (\frac{7}{4 + x}) = - (\frac{- (7 x)}{4 + x} \cdot \frac{4 + x}{7})$

Этап 5.3.7.6.2

Умножим $7$ на $- 1$ .

$f (\frac{7}{4 + x}) = - (\frac{- 7 x}{4 + x} \cdot \frac{4 + x}{7})$

Этап 5.3.8

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.8.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.8.1.1

Вынесем множитель $7$ из $- 7 x$ .

$f (\frac{7}{4 + x}) = - (\frac{7 (- x)}{4 + x} \cdot \frac{4 + x}{7})$

Этап 5.3.8.1.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{7}{4 + x}) = - (\frac{7 (- x)}{4 + x} \cdot \frac{4 + x}{7})$

Этап 5.3.8.1.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{7}{4 + x}) = - (\frac{- x}{4 + x} \cdot (4 + x))$

Этап 5.3.8.2

Сократим общий множитель $4 + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.8.2.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{7}{4 + x}) = - (\frac{- x}{4 + x} \cdot (4 + x))$

Этап 5.3.8.2.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{7}{4 + x}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{7}{4 + x}$ — обратная к $f (x) = - \frac{4 x - 7}{x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{7}{4 + x}$