Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x^{2} + 100}{x}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2} + 100$ и $g (x) = x$ .

$f' (x) = \frac{x \frac{d}{d x} (x^{2} + 100) - (x^{2} + 100) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 100$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [100]$ .

$f' (x) = \frac{x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (100)) - (x^{2} + 100) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x (2 x + \frac{d}{d x} (100)) - (x^{2} + 100) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Этап 1.1.2.3

Поскольку $100$ является константой относительно $x$ , производная $100$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = \frac{x (2 x + 0) - (x^{2} + 100) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Этап 1.1.2.4

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{x (2 x) - (x^{2} + 100) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Этап 1.1.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) - (x^{2} + 100) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Этап 1.1.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) - (x^{2} + 100) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Этап 1.1.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} + 100) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Этап 1.1.6

Добавим $1$ и $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 100) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Этап 1.1.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 100) \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 1.1.8

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 100)}{x^{2}}$

Этап 1.1.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 100}{x^{2}}$

Этап 1.1.9.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.2.1

Умножим $- 1$ на $100$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - x^{2} - 100}{x^{2}}$

Этап 1.1.9.2.2

Вычтем $x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 100}{x^{2}}$

Этап 1.1.9.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.3.1

Перепишем $100$ в виде $10^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 10^{2}}{x^{2}}$

Этап 1.1.9.3.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 10$ .

$f' (x) = \frac{(x + 10) (x - 10)}{x^{2}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{(x + 10) (x - 10)}{x^{2}}$ .

$\frac{(x + 10) (x - 10)}{x^{2}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{(x + 10) (x - 10)}{x^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{(x + 10) (x - 10)}{x^{2}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$(x + 10) (x - 10) = 0$

Этап 2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 10 = 0$

$x - 10 = 0$

Этап 2.3.2

Приравняем $x + 10$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Приравняем $x + 10$ к $0$ .

$x + 10 = 0$

Этап 2.3.2.2

Вычтем $10$ из обеих частей уравнения.

$x = - 10$

Этап 2.3.3

Приравняем $x - 10$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Приравняем $x - 10$ к $0$ .

$x - 10 = 0$

Этап 2.3.3.2

Добавим $10$ к обеим частям уравнения.

$x = 10$

Этап 2.3.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 10) (x - 10) = 0$ верно.

$x = - 10, 10$

Этап 3

Значения, при которых производная равна $0$ : $- 10, 10$ .

$- 10, 10$

Этап 4

Найдем, где производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим знаменатель в $\frac{(x + 10) (x - 10)}{x^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} = 0$

Этап 4.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 4.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 4.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - 10) \cup (- 10, 0) \cup (0, 10) \cup (10, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 10)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 11$ .

$f' (- 11) = \frac{((- 11) + 10) ((- 11) - 10)}{{(- 11)}^{2}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Добавим $- 11$ и $10$ .

$f' (- 11) = \frac{- 1 (- 11 - 10)}{{(- 11)}^{2}}$

Этап 6.2.1.2

Вычтем $10$ из $- 11$ .

$f' (- 11) = \frac{- 1 \cdot - 21}{{(- 11)}^{2}}$

Этап 6.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Возведем $- 11$ в степень $2$ .

$f' (- 11) = \frac{- 1 \cdot - 21}{121}$

Этап 6.2.2.2

Умножим $- 1$ на $- 21$ .

$f' (- 11) = \frac{21}{121}$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $\frac{21}{121}$ .

$\frac{21}{121}$

Этап 6.3

При $x = - 11$ производная имеет вид $\frac{21}{121}$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- \infty, - 10)$ .

Возрастание в области $(- \infty, - 10)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(- 10, 0)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 5$ .

$f' (- 5) = \frac{((- 5) + 10) ((- 5) - 10)}{{(- 5)}^{2}}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Добавим $- 5$ и $10$ .

$f' (- 5) = \frac{5 (- 5 - 10)}{{(- 5)}^{2}}$

Этап 7.2.1.2

Вычтем $10$ из $- 5$ .

$f' (- 5) = \frac{5 \cdot - 15}{{(- 5)}^{2}}$

Этап 7.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$f' (- 5) = \frac{5 \cdot - 15}{25}$

Этап 7.2.2.2

Умножим $5$ на $- 15$ .

$f' (- 5) = \frac{- 75}{25}$

Этап 7.2.2.3

Разделим $- 75$ на $25$ .

$f' (- 5) = - 3$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $- 3$ .

$- 3$

Этап 7.3

При $x = - 5$ производная имеет вид $- 3$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- 10, 0)$ .

Убывание на $(- 10, 0)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(0, 10)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $5$ .

$f' (5) = \frac{((5) + 10) ((5) - 10)}{{(5)}^{2}}$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Добавим $5$ и $10$ .

$f' (5) = \frac{15 (5 - 10)}{5^{2}}$

Этап 8.2.1.2

Вычтем $10$ из $5$ .

$f' (5) = \frac{15 \cdot - 5}{5^{2}}$

Этап 8.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$f' (5) = \frac{15 \cdot - 5}{25}$

Этап 8.2.2.2

Умножим $15$ на $- 5$ .

$f' (5) = \frac{- 75}{25}$

Этап 8.2.2.3

Разделим $- 75$ на $25$ .

$f' (5) = - 3$

Этап 8.2.3

Окончательный ответ: $- 3$ .

$- 3$

Этап 8.3

При $x = 5$ производная имеет вид $- 3$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(0, 10)$ .

Убывание на $(0, 10)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 9

Подставим значение из интервала $(10, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $11$ .

$f' (11) = \frac{((11) + 10) ((11) - 10)}{{(11)}^{2}}$

Этап 9.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Добавим $11$ и $10$ .

$f' (11) = \frac{21 (11 - 10)}{11^{2}}$

Этап 9.2.1.2

Вычтем $10$ из $11$ .

$f' (11) = \frac{21 \cdot 1}{11^{2}}$

Этап 9.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Возведем $11$ в степень $2$ .

$f' (11) = \frac{21 \cdot 1}{121}$

Этап 9.2.2.2

Умножим $21$ на $1$ .

$f' (11) = \frac{21}{121}$

Этап 9.2.3

Окончательный ответ: $\frac{21}{121}$ .

$\frac{21}{121}$

Этап 9.3

При $x = 11$ производная имеет вид $\frac{21}{121}$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(10, \infty)$ .

Возрастание в области $(10, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 10

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- \infty, - 10), (10, \infty)$

Убывание на: $(- 10, 0), (0, 10)$

Этап 11