Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{4 x^{2}}{x - 3}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{4 x^{2}}{x - 3}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x - 3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x - 3}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x - 3$ .

$4 \frac{(x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 \frac{(x - 3) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.1.3.2

Перенесем $2$ влево от $x - 3$ .

$4 \frac{2 \cdot (x - 3) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.1.3.3

По правилу суммы производная $x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$4 \frac{2 (x - 3) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \frac{2 (x - 3) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.1.3.5

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 \frac{2 (x - 3) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.1.3.6

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.6.1

Добавим $1$ и $0$ .

$4 \frac{2 (x - 3) x - x^{2} \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.1.3.6.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$4 \frac{2 (x - 3) x - x^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.1.3.6.3

Объединим $4$ и $\frac{2 (x - 3) x - x^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$ .

$\frac{4 (2 (x - 3) x - x^{2})}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 ((2 x + 2 \cdot - 3) x - x^{2})}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 (2 x \cdot x + 2 \cdot - 3 x - x^{2})}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.1.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 (2 x \cdot x) + 4 (2 \cdot - 3 x) + 4 (- x^{2})}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.1.4.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.4.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.4.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{4 (2 (x \cdot x)) + 4 (2 \cdot - 3 x) + 4 (- x^{2})}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.1.4.4.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{4 (2 x^{2}) + 4 (2 \cdot - 3 x) + 4 (- x^{2})}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.1.4.4.1.2

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{8 x^{2} + 4 (2 \cdot - 3 x) + 4 (- x^{2})}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.1.4.4.1.3

Умножим $2$ на $- 3$ .

$\frac{8 x^{2} + 4 (- 6 x) + 4 (- x^{2})}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.1.4.4.1.4

Умножим $- 6$ на $4$ .

$\frac{8 x^{2} - 24 x + 4 (- x^{2})}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.1.4.4.1.5

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{8 x^{2} - 24 x - 4 x^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.1.4.4.2

Вычтем $4 x^{2}$ из $8 x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} - 24 x}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.1.4.5

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x^{2} - 24 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.5.1

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x^{2}$ .

$\frac{4 x (x) - 24 x}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.1.4.5.2

Вынесем множитель $4 x$ из $- 24 x$ .

$\frac{4 x (x) + 4 x (- 6)}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.1.4.5.3

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x (x) + 4 x (- 6)$ .

$f' (x) = \frac{4 x (x - 6)}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{4 x (x - 6)}{{(x - 3)}^{2}}$ .

$\frac{4 x (x - 6)}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{4 x (x - 6)}{{(x - 3)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{4 x (x - 6)}{{(x - 3)}^{2}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$4 x (x - 6) = 0$

Этап 2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 6 = 0$

Этап 2.3.2

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.3.3

Приравняем $x - 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Приравняем $x - 6$ к $0$ .

$x - 6 = 0$

Этап 2.3.3.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$x = 6$

Этап 2.3.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $4 x (x - 6) = 0$ верно.

$x = 0, 6$

Этап 3

Значения, при которых производная равна $0$ : $0, 6$ .

$0, 6$

Этап 4

Найдем, где производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим знаменатель в $\frac{4 x (x - 6)}{{(x - 3)}^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

${(x - 3)}^{2} = 0$

Этап 4.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 4.2.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, 0) \cup (0, 3) \cup (3, 6) \cup (6, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, 0)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{4 (- 1) ((- 1) - 6)}{{((- 1) - 3)}^{2}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $4$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 4 (- 1 - 6)}{{(- 1 - 3)}^{2}}$

Этап 6.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Вычтем $3$ из $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 4 (- 1 - 6)}{{(- 4)}^{2}}$

Этап 6.2.2.2

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 4 (- 1 - 6)}{16}$

Этап 6.2.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Вычтем $6$ из $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 4 \cdot - 7}{16}$

Этап 6.2.3.2

Умножим $- 4$ на $- 7$ .

$f' (- 1) = \frac{28}{16}$

Этап 6.2.3.3

Сократим общий множитель $28$ и $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.3.1

Вынесем множитель $4$ из $28$ .

$f' (- 1) = \frac{4 (7)}{16}$

Этап 6.2.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.3.2.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$f' (- 1) = \frac{4 \cdot 7}{4 \cdot 4}$

Этап 6.2.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f' (- 1) = \frac{4 \cdot 7}{4 \cdot 4}$

Этап 6.2.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f' (- 1) = \frac{7}{4}$

Этап 6.2.4

Окончательный ответ: $\frac{7}{4}$ .

$\frac{7}{4}$

Этап 6.3

При $x = - 1$ производная имеет вид $\frac{7}{4}$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- \infty, 0)$ .

Возрастание в области $(- \infty, 0)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(0, 3)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{4 (\frac{3}{2}) ((\frac{3}{2}) - 6)}{{((\frac{3}{2}) - 3)}^{2}}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Объединим $4$ и $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{{(\frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Этап 7.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Чтобы записать $- 3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{{(\frac{3}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2})}^{2}}$

Этап 7.2.2.2

Объединим $- 3$ и $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{{(\frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Этап 7.2.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{{(\frac{3 - 3 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Этап 7.2.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.4.1

Умножим $- 3$ на $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{{(\frac{3 - 6}{2})}^{2}}$

Этап 7.2.2.4.2

Вычтем $6$ из $3$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{{(\frac{- 3}{2})}^{2}}$

Этап 7.2.2.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{{(- \frac{3}{2})}^{2}}$

Этап 7.2.2.6

Применим правило умножения к $- \frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{{(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}}$

Этап 7.2.2.7

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{1 {(\frac{3}{2})}^{2}}$

Этап 7.2.2.8

Применим правило умножения к $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{1 (\frac{3^{2}}{2^{2}})}$

Этап 7.2.2.9

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{1 (\frac{9}{2^{2}})}$

Этап 7.2.2.10

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{1 (\frac{9}{4})}$

Этап 7.2.2.11

Умножим $\frac{9}{4}$ на $1$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{\frac{9}{4}}$

Этап 7.2.3

Умножим $4$ на $3$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{12}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{\frac{9}{4}}$

Этап 7.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1

Разделим $12$ на $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{6 (\frac{3}{2} - 6)}{\frac{9}{4}}$

Этап 7.2.4.2

Чтобы записать $- 6$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{6 (\frac{3}{2} - 6 \cdot \frac{2}{2})}{\frac{9}{4}}$

Этап 7.2.4.3

Объединим $- 6$ и $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{6 (\frac{3}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2})}{\frac{9}{4}}$

Этап 7.2.4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{6 (\frac{3 - 6 \cdot 2}{2})}{\frac{9}{4}}$

Этап 7.2.4.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.5.1

Умножим $- 6$ на $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{6 (\frac{3 - 12}{2})}{\frac{9}{4}}$

Этап 7.2.4.5.2

Вычтем $12$ из $3$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{6 (\frac{- 9}{2})}{\frac{9}{4}}$

Этап 7.2.4.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{6 \cdot (- 1 (\frac{9}{2}))}{\frac{9}{4}}$

Этап 7.2.4.7

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.7.1

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- (6 (\frac{9}{2}))}{\frac{9}{4}}$

Этап 7.2.4.7.2

Объединим $6$ и $\frac{9}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{6 \cdot 9}{2}}{\frac{9}{4}}$

Этап 7.2.4.7.3

Умножим $6$ на $9$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{54}{2}}{\frac{9}{4}}$

Этап 7.2.4.8

Разделим $54$ на $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 1 \cdot 27}{\frac{9}{4}}$

Этап 7.2.5

Умножим $- 1$ на $27$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 27}{\frac{9}{4}}$

Этап 7.2.6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f' (\frac{3}{2}) = - 27 (\frac{4}{9})$

Этап 7.2.7

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.7.1

Вынесем множитель $9$ из $- 27$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 9 (- 3) (\frac{4}{9})$

Этап 7.2.7.2

Сократим общий множитель.

$f' (\frac{3}{2}) = 9 \cdot (- 3 (\frac{4}{9}))$

Этап 7.2.7.3

Перепишем это выражение.

$f' (\frac{3}{2}) = - 3 \cdot 4$

Этап 7.2.8

Умножим $- 3$ на $4$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - 12$

Этап 7.2.9

Окончательный ответ: $- 12$ .

$- 12$

Этап 7.3

При $x = \frac{3}{2}$ производная имеет вид $- 12$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(0, 3)$ .

Убывание на $(0, 3)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(3, 6)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{9}{2}$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{4 (\frac{9}{2}) ((\frac{9}{2}) - 6)}{{((\frac{9}{2}) - 3)}^{2}}$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Объединим $4$ и $\frac{9}{2}$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 9}{2} \cdot (\frac{9}{2} - 6)}{{(\frac{9}{2} - 3)}^{2}}$

Этап 8.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Чтобы записать $- 3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 9}{2} \cdot (\frac{9}{2} - 6)}{{(\frac{9}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2})}^{2}}$

Этап 8.2.2.2

Объединим $- 3$ и $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 9}{2} \cdot (\frac{9}{2} - 6)}{{(\frac{9}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Этап 8.2.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 9}{2} \cdot (\frac{9}{2} - 6)}{{(\frac{9 - 3 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Этап 8.2.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.4.1

Умножим $- 3$ на $2$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 9}{2} \cdot (\frac{9}{2} - 6)}{{(\frac{9 - 6}{2})}^{2}}$

Этап 8.2.2.4.2

Вычтем $6$ из $9$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 9}{2} \cdot (\frac{9}{2} - 6)}{{(\frac{3}{2})}^{2}}$

Этап 8.2.2.5

Применим правило умножения к $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 9}{2} \cdot (\frac{9}{2} - 6)}{\frac{3^{2}}{2^{2}}}$

Этап 8.2.2.6

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 9}{2} \cdot (\frac{9}{2} - 6)}{\frac{9}{2^{2}}}$

Этап 8.2.2.7

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 9}{2} \cdot (\frac{9}{2} - 6)}{\frac{9}{4}}$

Этап 8.2.3

Умножим $4$ на $9$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{36}{2} \cdot (\frac{9}{2} - 6)}{\frac{9}{4}}$

Этап 8.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.1

Разделим $36$ на $2$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{18 (\frac{9}{2} - 6)}{\frac{9}{4}}$

Этап 8.2.4.2

Чтобы записать $- 6$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{18 (\frac{9}{2} - 6 \cdot \frac{2}{2})}{\frac{9}{4}}$

Этап 8.2.4.3

Объединим $- 6$ и $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{18 (\frac{9}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2})}{\frac{9}{4}}$

Этап 8.2.4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{18 (\frac{9 - 6 \cdot 2}{2})}{\frac{9}{4}}$

Этап 8.2.4.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.5.1

Умножим $- 6$ на $2$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{18 (\frac{9 - 12}{2})}{\frac{9}{4}}$

Этап 8.2.4.5.2

Вычтем $12$ из $9$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{18 (\frac{- 3}{2})}{\frac{9}{4}}$

Этап 8.2.4.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{18 \cdot (- 1 (\frac{3}{2}))}{\frac{9}{4}}$

Этап 8.2.4.7

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.7.1

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{- (18 (\frac{3}{2}))}{\frac{9}{4}}$

Этап 8.2.4.7.2

Объединим $18$ и $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{- \frac{18 \cdot 3}{2}}{\frac{9}{4}}$

Этап 8.2.4.7.3

Умножим $18$ на $3$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{- \frac{54}{2}}{\frac{9}{4}}$

Этап 8.2.4.8

Разделим $54$ на $2$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{- 1 \cdot 27}{\frac{9}{4}}$

Этап 8.2.5

Умножим $- 1$ на $27$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{- 27}{\frac{9}{4}}$

Этап 8.2.6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f' (\frac{9}{2}) = - 27 (\frac{4}{9})$

Этап 8.2.7

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.7.1

Вынесем множитель $9$ из $- 27$ .

$f' (\frac{9}{2}) = 9 (- 3) (\frac{4}{9})$

Этап 8.2.7.2

Сократим общий множитель.

$f' (\frac{9}{2}) = 9 \cdot (- 3 (\frac{4}{9}))$

Этап 8.2.7.3

Перепишем это выражение.

$f' (\frac{9}{2}) = - 3 \cdot 4$

Этап 8.2.8

Умножим $- 3$ на $4$ .

$f' (\frac{9}{2}) = - 12$

Этап 8.2.9

Окончательный ответ: $- 12$ .

$- 12$

Этап 8.3

При $x = \frac{9}{2}$ производная имеет вид $- 12$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(3, 6)$ .

Убывание на $(3, 6)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 9

Подставим значение из интервала $(6, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $7$ .

$f' (7) = \frac{4 (7) ((7) - 6)}{{((7) - 3)}^{2}}$

Этап 9.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Умножим $4$ на $7$ .

$f' (7) = \frac{28 (7 - 6)}{{(7 - 3)}^{2}}$

Этап 9.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Вычтем $3$ из $7$ .

$f' (7) = \frac{28 (7 - 6)}{4^{2}}$

Этап 9.2.2.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f' (7) = \frac{28 (7 - 6)}{16}$

Этап 9.2.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1

Вычтем $6$ из $7$ .

$f' (7) = \frac{28 \cdot 1}{16}$

Этап 9.2.3.2

Умножим $28$ на $1$ .

$f' (7) = \frac{28}{16}$

Этап 9.2.3.3

Сократим общий множитель $28$ и $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.3.1

Вынесем множитель $4$ из $28$ .

$f' (7) = \frac{4 (7)}{16}$

Этап 9.2.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.3.2.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$f' (7) = \frac{4 \cdot 7}{4 \cdot 4}$

Этап 9.2.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f' (7) = \frac{4 \cdot 7}{4 \cdot 4}$

Этап 9.2.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f' (7) = \frac{7}{4}$

Этап 9.2.4

Окончательный ответ: $\frac{7}{4}$ .

$\frac{7}{4}$

Этап 9.3

При $x = 7$ производная имеет вид $\frac{7}{4}$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(6, \infty)$ .

Возрастание в области $(6, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 10

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- \infty, 0), (6, \infty)$

Убывание на: $(0, 3), (3, 6)$

Этап 11