Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{6}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Поскольку $\frac{1}{6}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{e^{x} + e^{- x}}{6}$ по $x$ равна $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $e^{x} + e^{- x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{1}{6} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- x$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} + e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 1.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $- x$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 1.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Этап 1.4.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} + e^{- x} \cdot - 1)$

Этап 1.4.3.2

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- x}$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} - 1 \cdot e^{- x})$

Этап 1.4.3.3

Перепишем $- 1 e^{- x}$ в виде $- e^{- x}$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} - e^{- x})$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{6} e^{x} + \frac{1}{6} (- e^{- x})$

Этап 1.5.2

Объединим $\frac{1}{6}$ и $e^{- x}$ .

$\frac{1}{6} e^{x} - \frac{e^{- x}}{6}$

Этап 1.5.3

Объединим $\frac{1}{6}$ и $e^{x}$ .

$\frac{e^{x}}{6} - \frac{e^{- x}}{6}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $\frac{e^{x}}{6} - \frac{e^{- x}}{6}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{e^{- x}}{6}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{e^{x}}{6}) + \frac{d}{d x} (- \frac{e^{- x}}{6})$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{6}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $\frac{1}{6}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{e^{x}}{6}$ по $x$ равна $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{6} \cdot \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- \frac{e^{- x}}{6})$

Этап 2.2.2

$f'' (x) = \frac{1}{6} \cdot e^{x} + \frac{d}{d x} (- \frac{e^{- x}}{6})$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{e^{- x}}{6}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- \frac{1}{6}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{e^{- x}}{6}$ по $x$ равна $- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{6} \cdot e^{x} - \frac{1}{6} \cdot \frac{d}{d x} e^{- x}$

Этап 2.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- x$ .

$f'' (x) = \frac{1}{6} \cdot e^{x} - \frac{1}{6} \cdot (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x))$

Этап 2.3.2.2

$f'' (x) = \frac{1}{6} \cdot e^{x} - \frac{1}{6} \cdot (e^{u} \frac{d}{d x} (- x))$

Этап 2.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- x$ .

$f'' (x) = \frac{1}{6} \cdot e^{x} - \frac{1}{6} \cdot (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x))$

Этап 2.3.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{6} \cdot e^{x} - \frac{1}{6} \cdot (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x))$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{6} \cdot e^{x} - \frac{1}{6} \cdot (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Этап 2.3.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{6} \cdot e^{x} - \frac{1}{6} \cdot (e^{- x} \cdot - 1)$

Этап 2.3.6

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- x}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{6} \cdot e^{x} - \frac{1}{6} \cdot (- 1 \cdot e^{- x})$

Этап 2.3.7

Перепишем $- 1 e^{- x}$ в виде $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{6} \cdot e^{x} - \frac{1}{6} \cdot (- e^{- x})$

Этап 2.3.8

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{6} \cdot e^{x} + 1 (\frac{1}{6}) \cdot e^{- x}$

Этап 2.3.9

Умножим $\frac{1}{6}$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{6} \cdot e^{x} + \frac{1}{6} \cdot e^{- x}$

Этап 2.3.10

Объединим $\frac{1}{6}$ и $e^{- x}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{6} \cdot e^{x} + \frac{e^{- x}}{6}$

Этап 2.4

Объединим $\frac{1}{6}$ и $e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{e^{x}}{6} + \frac{e^{- x}}{6}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{e^{x}}{6} - \frac{e^{- x}}{6} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]$

Этап 4.1.1.2

По правилу суммы производная $e^{x} + e^{- x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{1}{6} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Этап 4.1.2

$\frac{1}{6} (e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Этап 4.1.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- x$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 4.1.3.2

$\frac{1}{6} (e^{x} + e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 4.1.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $- x$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 4.1.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 4.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Этап 4.1.4.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} + e^{- x} \cdot - 1)$

Этап 4.1.4.3.2

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- x}$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} - 1 \cdot e^{- x})$

Этап 4.1.4.3.3

Перепишем $- 1 e^{- x}$ в виде $- e^{- x}$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} - e^{- x})$

Этап 4.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{6} e^{x} + \frac{1}{6} (- e^{- x})$

Этап 4.1.5.2

Объединим $\frac{1}{6}$ и $e^{- x}$ .

$\frac{1}{6} e^{x} - \frac{e^{- x}}{6}$

Этап 4.1.5.3

Объединим $\frac{1}{6}$ и $e^{x}$ .

$f' (x) = \frac{e^{x}}{6} - \frac{e^{- x}}{6}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{e^{x}}{6} - \frac{e^{- x}}{6}$ .

$\frac{e^{x}}{6} - \frac{e^{- x}}{6}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{e^{x}}{6} - \frac{e^{- x}}{6} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{e^{x}}{6} - \frac{e^{- x}}{6} = 0$

Этап 5.2

Перенесем $- \frac{e^{- x}}{6}$ в правую часть уравнения, прибавив данный член к обеим частям.

$\frac{e^{x}}{6} = \frac{e^{- x}}{6}$

Этап 5.3

Поскольку выражения в каждой части уравнения имеют одинаковые знаменатели, числители должны быть равны.

$e^{x} = e^{- x}$

Этап 5.4

Поскольку основания одинаковы, два выражения равны только в том случае, если равны экспоненты.

$x = - x$

Этап 5.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1

Добавим $x$ к обеим частям уравнения.

$x + x = 0$

Этап 5.5.1.2

Добавим $x$ и $x$ .

$2 x = 0$

Этап 5.5.2

Разделим каждый член $2 x = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Разделим каждый член $2 x = 0$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 5.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 5.5.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Этап 5.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$x = 0$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{e^{0}}{6} + \frac{e^{- (0)}}{6}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{e^{0} + e^{- (0)}}{6}$

Этап 9.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{1 + e^{- (0)}}{6}$

Этап 9.2.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{1 + e^{0}}{6}$

Этап 9.2.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{1 + 1}{6}$

Этап 9.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2}{6}$

Этап 9.3.2

Сократим общий множитель $2$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (1)}{6}$

Этап 9.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

Этап 9.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

Этап 9.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3}$

Этап 10

$x = 0$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = \frac{e^{0} + e^{- (0)}}{6}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$f (0) = \frac{1 + e^{- (0)}}{6}$

Этап 11.2.1.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$f (0) = \frac{1 + e^{0}}{6}$

Этап 11.2.1.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$f (0) = \frac{1 + 1}{6}$

Этап 11.2.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$f (0) = \frac{2}{6}$

Этап 11.2.2

Сократим общий множитель $2$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (0) = \frac{2 (1)}{6}$

Этап 11.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$f (0) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

Этап 11.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$f (0) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

Этап 11.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f (0) = \frac{1}{3}$

Этап 11.2.3

Окончательный ответ: $\frac{1}{3}$ .

$y = \frac{1}{3}$

Этап 12

Это локальные экстремумы $f (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{6}$ .

$(0, \frac{1}{3})$ — локальный минимум

Этап 13