Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{e^{x}}{3 + e^{x}}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 3 + e^{x}$ .

$\frac{(3 + e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [3 + e^{x}]}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [3 + e^{x}]}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

По правилу суммы производная $3 + e^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Этап 1.3.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{x} (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Этап 1.3.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Этап 1.4

$\frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{x} e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Этап 1.5

Умножим $e^{x}$ на $e^{x}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Перенесем $e^{x}$ .

$\frac{(3 + e^{x}) e^{x} - (e^{x} e^{x})}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Этап 1.5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{x + x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Этап 1.5.3

Добавим $x$ и $x$ .

$\frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{2 x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Этап 1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 e^{x} + e^{x} e^{x} - e^{2 x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Этап 1.6.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.1

Умножим $e^{x}$ на $e^{x}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 e^{x} + e^{x + x} - e^{2 x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Этап 1.6.2.1.2

Добавим $x$ и $x$ .

$\frac{3 e^{x} + e^{2 x} - e^{2 x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Этап 1.6.2.2

Объединим противоположные члены в $3 e^{x} + e^{2 x} - e^{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.2.1

Вычтем $e^{2 x}$ из $e^{2 x}$ .

$\frac{3 e^{x} + 0}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Этап 1.6.2.2.2

Добавим $3 e^{x}$ и $0$ .

$\frac{3 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{3 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (\frac{e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}})$

Этап 2.2

$f'' (x) = 3 (\frac{{(3 + e^{x})}^{2} \frac{d}{d x} (e^{x}) - e^{x} \frac{d}{d x} {(3 + e^{x})}^{2}}{{({(3 + e^{x})}^{2})}^{2}})$

Этап 2.3

Перемножим экспоненты в ${({(3 + e^{x})}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{{(3 + e^{x})}^{2} \frac{d}{d x} (e^{x}) - e^{x} \frac{d}{d x} {(3 + e^{x})}^{2}}{{(3 + e^{x})}^{2 \cdot 2}})$

Этап 2.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{{(3 + e^{x})}^{2} \frac{d}{d x} (e^{x}) - e^{x} \frac{d}{d x} {(3 + e^{x})}^{2}}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

Этап 2.4

$f'' (x) = 3 (\frac{{(3 + e^{x})}^{2} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} {(3 + e^{x})}^{2}}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = 3 + e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 + e^{x}$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{{(3 + e^{x})}^{2} e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (3 + e^{x}))}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

Этап 2.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{{(3 + e^{x})}^{2} e^{x} - e^{x} (2 u \frac{d}{d x} (3 + e^{x}))}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

Этап 2.5.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 + e^{x}$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{{(3 + e^{x})}^{2} e^{x} - e^{x} (2 (3 + e^{x}) \frac{d}{d x} (3 + e^{x}))}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

Этап 2.6

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{{(3 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((3 + e^{x}) \frac{d}{d x} (3 + e^{x}))}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

Этап 2.6.2

По правилу суммы производная $3 + e^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{{(3 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((3 + e^{x}) (\frac{d}{d x} (3) + \frac{d}{d x} (e^{x})))}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

Этап 2.6.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{{(3 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((3 + e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} (e^{x})))}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

Этап 2.6.4

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{{(3 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((3 + e^{x}) \frac{d}{d x} (e^{x}))}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

Этап 2.7

$f'' (x) = 3 (\frac{{(3 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((3 + e^{x}) e^{x})}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

Этап 2.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 3 (\frac{{(3 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x + x} (3 + e^{x})}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

Этап 2.9

Добавим $x$ и $x$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{{(3 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{2 x} (3 + e^{x})}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

Этап 2.10

Вынесем множитель $3 + e^{x}$ из ${(3 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{2 x} (3 + e^{x})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Вынесем множитель $3 + e^{x}$ из ${(3 + e^{x})}^{2} e^{x}$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{(3 + e^{x}) ((3 + e^{x}) e^{x}) - 2 e^{2 x} (3 + e^{x})}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

Этап 2.10.2

Вынесем множитель $3 + e^{x}$ из $- 2 e^{2 x} (3 + e^{x})$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{(3 + e^{x}) ((3 + e^{x}) e^{x}) + (3 + e^{x}) (- 2 e^{2 x})}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

Этап 2.10.3

Вынесем множитель $3 + e^{x}$ из $(3 + e^{x}) ((3 + e^{x}) e^{x}) + (3 + e^{x}) (- 2 e^{2 x})$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{(3 + e^{x}) ((3 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x})}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

Этап 2.11

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Вынесем множитель $3 + e^{x}$ из ${(3 + e^{x})}^{4}$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{(3 + e^{x}) ((3 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x})}{(3 + e^{x}) {(3 + e^{x})}^{3}})$

Этап 2.11.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = 3 (\frac{(3 + e^{x}) ((3 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x})}{(3 + e^{x}) {(3 + e^{x})}^{3}})$

Этап 2.11.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = 3 (\frac{(3 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x}}{{(3 + e^{x})}^{3}})$

Этап 2.12

Объединим $3$ и $\frac{(3 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x}}{{(3 + e^{x})}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 ((3 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x})}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

Этап 2.13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{3 (3 e^{x} + e^{x} e^{x} - 2 e^{2 x})}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

Этап 2.13.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{3 (3 e^{x}) + 3 (e^{x} e^{x}) + 3 (- 2 e^{2 x})}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

Этап 2.13.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.3.1.1

Умножим $3$ на $3$ .

$f'' (x) = \frac{9 e^{x} + 3 (e^{x} e^{x}) + 3 (- 2 e^{2 x})}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

Этап 2.13.3.1.2

Умножим $e^{x}$ на $e^{x}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.3.1.2.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{9 e^{x} + 3 e^{x + x} + 3 (- 2 e^{2 x})}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

Этап 2.13.3.1.2.2

Добавим $x$ и $x$ .

$f'' (x) = \frac{9 e^{x} + 3 e^{2 x} + 3 (- 2 e^{2 x})}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

Этап 2.13.3.1.3

Умножим $- 2$ на $3$ .

$f'' (x) = \frac{9 e^{x} + 3 e^{2 x} - 6 e^{2 x}}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

Этап 2.13.3.2

Вычтем $6 e^{2 x}$ из $3 e^{2 x}$ .

$f'' (x) = \frac{9 e^{x} - 3 e^{2 x}}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

Этап 2.13.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.4.1

Вынесем множитель $3$ из $9 e^{x} - 3 e^{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.4.1.1

Вынесем множитель $3$ из $9 e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (3 e^{x}) - 3 e^{2 x}}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

Этап 2.13.4.1.2

Вынесем множитель $3$ из $- 3 e^{2 x}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (3 e^{x}) + 3 (- e^{2 x})}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

Этап 2.13.4.1.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (3 e^{x}) + 3 (- e^{2 x})$ .

$f'' (x) = \frac{3 (3 e^{x} - e^{2 x})}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

Этап 2.13.4.2

Перепишем $e^{2 x}$ в виде ${(e^{x})}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (3 e^{x} - {(e^{x})}^{2})}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

Этап 2.13.4.3

Пусть $u = e^{x}$ . Подставим $u$ вместо $e^{x}$ для всех.

$f'' (x) = \frac{3 (3 u - u^{2})}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

Этап 2.13.4.4

Вынесем множитель $u$ из $3 u - u^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.4.4.1

Вынесем множитель $u$ из $3 u$ .

$f'' (x) = \frac{3 (u \cdot 3 - u^{2})}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

Этап 2.13.4.4.2

Вынесем множитель $u$ из $- u^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (u \cdot 3 + u (- u))}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

Этап 2.13.4.4.3

Вынесем множитель $u$ из $u \cdot 3 + u (- u)$ .

$f'' (x) = \frac{3 (u (3 - u))}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

Этап 2.13.4.5

Заменим все вхождения $u$ на $e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{3 e^{x} (3 - e^{x})}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{3 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}} = 0$

Этап 4

Ввиду отсутствия значения $x$ , при котором первая производная равна $0$ , локальные экстремумы отсутствуют.

Нет локальных экстремумов

Этап 5

Нет локальных экстремумов

Этап 6