Математический анализ Примеры

$f (x) = {(x - 2 \sqrt{x})}^{2}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x - 2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x - 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 2 x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [x - 2 x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x - 2 x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

По правилу суммы производная $x - 2 x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 1.3.3

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Этап 1.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Этап 1.5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Этап 1.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Этап 1.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Этап 1.7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Этап 1.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Этап 1.9

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Этап 1.10

Объединим $- 2$ и $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{- 2 x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Этап 1.11

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{- 2}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 1.12

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 1.13

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.13.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{2 \cdot - 1}{2 (x^{\frac{1}{2}})})$

Этап 1.13.2

Сократим общий множитель.

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 1.13.3

Перепишем это выражение.

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 1.14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 1.15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.15.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 x + 2 (- 2 x^{\frac{1}{2}})) (1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 1.15.2

Умножим $- 2$ на $2$ .

$(2 x - 4 x^{\frac{1}{2}}) (1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 1.15.3

Изменим порядок множителей в $(2 x - 4 x^{\frac{1}{2}}) (1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$ .

$(1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (2 x - 4 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 1.15.4

Развернем $(1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (2 x - 4 x^{\frac{1}{2}})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.15.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 (2 x - 4 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x - 4 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 1.15.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 (2 x) + 1 (- 4 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x - 4 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 1.15.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$1 (2 x) + 1 (- 4 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 1.15.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.15.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.15.5.1.1

Умножим $2 x$ на $1$ .

$2 x + 1 (- 4 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 1.15.5.1.2

Умножим $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 1.15.5.1.3

Умножим $- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.15.5.1.3.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} x - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 1.15.5.1.3.2

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} x - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 1.15.5.1.3.3

Объединим $\frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 1.15.5.1.4

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 1.15.5.1.5

Умножим $x$ на $x^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.15.5.1.5.1

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 (x^{- \frac{1}{2}} x) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 1.15.5.1.5.2

Умножим $x^{- \frac{1}{2}}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.15.5.1.5.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 (x^{- \frac{1}{2}} x^{1}) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 1.15.5.1.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{- \frac{1}{2} + 1} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 1.15.5.1.5.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 1.15.5.1.5.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{- 1 + 2}{2}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 1.15.5.1.5.5

Добавим $- 1$ и $2$ .

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 1.15.5.1.6

Сократим общий множитель $x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.15.5.1.6.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ в числитель.

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 1.15.5.1.6.2

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{2}}$ из $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} \cdot - 4)$

Этап 1.15.5.1.6.3

Сократим общий множитель.

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} \cdot - 4)$

Этап 1.15.5.1.6.4

Перепишем это выражение.

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 4$

Этап 1.15.5.1.7

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + 4$

Этап 1.15.5.2

Вычтем $2 x^{\frac{1}{2}}$ из $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x - 6 x^{\frac{1}{2}} + 4$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $2 x - 6 x^{\frac{1}{2}} + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 6 x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (- 6 x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{1}{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$f'' (x) = 2 - 6 \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 2.3.2

$f'' (x) = 2 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 2.3.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 2 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 2.3.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 2 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 2.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = 2 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 2.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f'' (x) = 2 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 2.3.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$f'' (x) = 2 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 2.3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = 2 - 6 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 2.3.8

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 2 - 6 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 2.3.9

Объединим $- 6$ и $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{- 6 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 2.3.10

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{- 6}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 2.3.11

Вынесем множитель $2$ из $- 6$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{2 \cdot - 3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 2.3.12

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.12.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{2 \cdot - 3}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 2.3.12.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = 2 + \frac{2 \cdot - 3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 2.3.12.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = 2 + \frac{- 3}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 2.3.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = 2 - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 2 - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $2 - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$ и $0$ .

$f'' (x) = 2 - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$2 x - 6 x^{\frac{1}{2}} + 4 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x - 2 x^{\frac{1}{2}})}^{2})$

Этап 4.1.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x - 2 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 2 u \frac{d}{d x} (x - 2 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 4.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x - 2 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 4.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

По правилу суммы производная $x - 2 x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{1}{2}}]$ .

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{\frac{1}{2}}))$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{d}{d x} (- 2 x^{\frac{1}{2}}))$

Этап 4.1.3.3

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}})$

Этап 4.1.3.4

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Этап 4.1.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Этап 4.1.5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Этап 4.1.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Этап 4.1.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Этап 4.1.7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Этап 4.1.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Этап 4.1.9

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Этап 4.1.10

Объединим $- 2$ и $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{- 2 x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Этап 4.1.11

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{- 2}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 4.1.12

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 4.1.13

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.13.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{2 \cdot - 1}{2 (x^{\frac{1}{2}})})$

Этап 4.1.13.2

Сократим общий множитель.

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 4.1.13.3

Перепишем это выражение.

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 4.1.14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 4.1.15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.15.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = (2 x + 2 (- 2 x^{\frac{1}{2}})) (1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 4.1.15.2

Умножим $- 2$ на $2$ .

$f' (x) = (2 x - 4 x^{\frac{1}{2}}) (1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 4.1.15.3

Изменим порядок множителей в $(2 x - 4 x^{\frac{1}{2}}) (1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$ .

$f' (x) = (1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (2 x - 4 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 4.1.15.4

Развернем $(1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (2 x - 4 x^{\frac{1}{2}})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.15.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = 1 (2 x - 4 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 4 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 4.1.15.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = 1 (2 x) + 1 (- 4 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 4 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 4.1.15.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = 1 (2 x) + 1 (- 4 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 4.1.15.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.15.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.15.5.1.1

Умножим $2 x$ на $1$ .

$f' (x) = 2 x + 1 (- 4 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 4.1.15.5.1.2

Умножим $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 4.1.15.5.1.3

Умножим $- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.15.5.1.3.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot x - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 4.1.15.5.1.3.2

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot x - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 4.1.15.5.1.3.3

Объединим $\frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 4.1.15.5.1.4

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 4.1.15.5.1.5

Умножим $x$ на $x^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.15.5.1.5.1

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 (x^{- \frac{1}{2}} x) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 4.1.15.5.1.5.2

Умножим $x^{- \frac{1}{2}}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.15.5.1.5.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 (x^{- \frac{1}{2}} x) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 4.1.15.5.1.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{- \frac{1}{2} + 1} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 4.1.15.5.1.5.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 4.1.15.5.1.5.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{- 1 + 2}{2}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 4.1.15.5.1.5.5

Добавим $- 1$ и $2$ .

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 4.1.15.5.1.6

Сократим общий множитель $x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.15.5.1.6.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ в числитель.

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 4.1.15.5.1.6.2

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{2}}$ из $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (x^{\frac{1}{2}} \cdot - 4)$

Этап 4.1.15.5.1.6.3

Сократим общий множитель.

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (x^{\frac{1}{2}} \cdot - 4)$

Этап 4.1.15.5.1.6.4

Перепишем это выражение.

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 4$

Этап 4.1.15.5.1.7

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + 4$

Этап 4.1.15.5.2

Вычтем $2 x^{\frac{1}{2}}$ из $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 2 x - 6 x^{\frac{1}{2}} + 4$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $2 x - 6 x^{\frac{1}{2}} + 4$ .

$2 x - 6 x^{\frac{1}{2}} + 4$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $2 x - 6 x^{\frac{1}{2}} + 4 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$2 x - 6 x^{\frac{1}{2}} + 4 = 0$

Этап 5.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Перепишем $x$ в виде ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

$2 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} - 6 x^{\frac{1}{2}} + 4 = 0$

Этап 5.2.2

Пусть $u = x^{\frac{1}{2}}$ . Подставим $u$ вместо $x^{\frac{1}{2}}$ для всех.

$2 u^{2} - 6 u + 4 = 0$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $2$ из $2 u^{2} - 6 u + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2 u^{2}$ .

$2 (u^{2}) - 6 u + 4 = 0$

Этап 5.2.3.2

Вынесем множитель $2$ из $- 6 u$ .

$2 (u^{2}) + 2 (- 3 u) + 4 = 0$

Этап 5.2.3.3

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$2 u^{2} + 2 (- 3 u) + 2 \cdot 2 = 0$

Этап 5.2.3.4

Вынесем множитель $2$ из $2 u^{2} + 2 (- 3 u)$ .

$2 (u^{2} - 3 u) + 2 \cdot 2 = 0$

Этап 5.2.3.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (u^{2} - 3 u) + 2 \cdot 2$ .

$2 (u^{2} - 3 u + 2) = 0$

Этап 5.2.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Разложим $u^{2} - 3 u + 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $2$ , а сумма — $- 3$ .

$- 2, - 1$

Этап 5.2.4.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$2 ((u - 2) (u - 1)) = 0$

Этап 5.2.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 (u - 2) (u - 1) = 0$

Этап 5.2.5

Заменим все вхождения $u$ на $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (x^{\frac{1}{2}} - 2) (x^{\frac{1}{2}} - 1) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} - 2 = 0$

$x^{\frac{1}{2}} - 1 = 0$

Этап 5.4

Приравняем $x^{\frac{1}{2}} - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Приравняем $x^{\frac{1}{2}} - 2$ к $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} - 2 = 0$

Этап 5.4.2

Решим $x^{\frac{1}{2}} - 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x^{\frac{1}{2}} = 2$

Этап 5.4.2.2

Возведем обе части уравнения в степень $2$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 2^{2}$

Этап 5.4.2.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.3.1.1

Упростим ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.3.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.3.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

Этап 5.4.2.3.1.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.3.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

Этап 5.4.2.3.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = 2^{2}$

Этап 5.4.2.3.1.1.2

Упростим.

$x = 2^{2}$

Этап 5.4.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.3.2.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = 4$

Этап 5.5

Приравняем $x^{\frac{1}{2}} - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $x^{\frac{1}{2}} - 1$ к $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} - 1 = 0$

Этап 5.5.2

Решим $x^{\frac{1}{2}} - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x^{\frac{1}{2}} = 1$

Этап 5.5.2.2

Возведем обе части уравнения в степень $2$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Этап 5.5.2.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.1.1

Упростим ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Этап 5.5.2.3.1.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Этап 5.5.2.3.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = 1^{2}$

Этап 5.5.2.3.1.1.2

Упростим.

$x = 1^{2}$

Этап 5.5.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$x = 1$

Этап 5.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 (x^{\frac{1}{2}} - 2) (x^{\frac{1}{2}} - 1) = 0$ верно.

$x = 4, 1$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$2 x - 6 \sqrt{x^{1}} + 4$

Этап 6.1.2

Любое число, возведенное в степень $1$ , является основанием.

$2 x - 6 \sqrt{x} + 4$

Этап 6.2

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x}$ меньшим $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x < 0$

Этап 6.3

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 4, 1$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 4$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$2 - \frac{3}{{(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$2 - \frac{3}{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 - \frac{3}{2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Этап 9.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.3.1

Сократим общий множитель.

$2 - \frac{3}{2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Этап 9.1.3.2

Перепишем это выражение.

$2 - \frac{3}{2^{1}}$

Этап 9.1.4

Найдем экспоненту.

$2 - \frac{3}{2}$

Этап 9.2

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2}$

Этап 9.3

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}$

Этап 9.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 \cdot 2 - 3}{2}$

Этап 9.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4 - 3}{2}$

Этап 9.5.2

Вычтем $3$ из $4$ .

$\frac{1}{2}$

Этап 10

$x = 4$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 4$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f (4) = {((4) - 2 \sqrt{4})}^{2}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f (4) = {(4 - 2 \sqrt{2^{2}})}^{2}$

Этап 11.2.1.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (4) = {(4 - 2 \cdot 2)}^{2}$

Этап 11.2.1.3

Умножим $- 2$ на $2$ .

$f (4) = {(4 - 4)}^{2}$

Этап 11.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Вычтем $4$ из $4$ .

$f (4) = 0^{2}$

Этап 11.2.2.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (4) = 0$

Этап 11.2.3

Окончательный ответ: $0$ .

$y = 0$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = 1$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$2 - \frac{3}{{(1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$2 - \frac{3}{1}$

Этап 13.1.2

Разделим $3$ на $1$ .

$2 - 1 \cdot 3$

Этап 13.1.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$2 - 3$

Этап 13.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$- 1$

Этап 14

$x = 1$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 1$ — локальный максимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = {((1) - 2 \sqrt{1})}^{2}$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$f (1) = {(1 - 2 \cdot 1)}^{2}$

Этап 15.2.1.2

Умножим $- 2$ на $1$ .

$f (1) = {(1 - 2)}^{2}$

Этап 15.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1

Вычтем $2$ из $1$ .

$f (1) = {(- 1)}^{2}$

Этап 15.2.2.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (1) = 1$

Этап 15.2.3

Окончательный ответ: $1$ .

$y = 1$

Этап 16

Это локальные экстремумы $f (x) = {(x - 2 \sqrt{x})}^{2}$ .

$(4, 0)$ — локальный минимум

$(1, 1)$ — локальный максимум

Этап 17