Математический анализ Примеры

$y = \frac{x^{2}}{x^{2} + 6}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x^{2} + 6$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 6) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 6)}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 6) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 6)}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Этап 1.2.2

Перенесем $2$ влево от $x^{2} + 6$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x^{2} + 6) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 6)}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Этап 1.2.3

По правилу суммы производная $x^{2} + 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 6) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (6))}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Этап 1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 6) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (6))}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Этап 1.2.5

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 6) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Этап 1.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 6) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Этап 1.2.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 6) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Этап 1.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 6) x - 2 (x \cdot x^{2})}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Этап 1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 6) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Этап 1.5

Добавим $1$ и $2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 6) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Этап 1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 6) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Этап 1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (6 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Этап 1.6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.3.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.3.1.1.1

Перенесем $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (6 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Этап 1.6.3.1.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.3.1.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (6 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Этап 1.6.3.1.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot (6 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Этап 1.6.3.1.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + 2 \cdot (6 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Этап 1.6.3.1.2

Умножим $2$ на $6$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + 12 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Этап 1.6.3.2

Объединим противоположные члены в $2 x^{3} + 12 x - 2 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.3.2.1

Вычтем $2 x^{3}$ из $2 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{12 x + 0}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Этап 1.6.3.2.2

Добавим $12 x$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x^{2} + 6)}^{2}})$

Этап 2.2

$f'' (x) = 12 (\frac{{(x^{2} + 6)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 6)}^{2}}{{({(x^{2} + 6)}^{2})}^{2}})$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} + 6)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 12 (\frac{{(x^{2} + 6)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 6)}^{2}}{{(x^{2} + 6)}^{2 \cdot 2}})$

Этап 2.3.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = 12 (\frac{{(x^{2} + 6)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 6)}^{2}}{{(x^{2} + 6)}^{4}})$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 (\frac{{(x^{2} + 6)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 6)}^{2}}{{(x^{2} + 6)}^{4}})$

Этап 2.3.3

Умножим ${(x^{2} + 6)}^{2}$ на $1$ .

$f'' (x) = 12 (\frac{{(x^{2} + 6)}^{2} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 6)}^{2}}{{(x^{2} + 6)}^{4}})$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x^{2} + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 6$ .

$f'' (x) = 12 (\frac{{(x^{2} + 6)}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 6))}{{(x^{2} + 6)}^{4}})$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 (\frac{{(x^{2} + 6)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 6))}{{(x^{2} + 6)}^{4}})$

Этап 2.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 6$ .

$f'' (x) = 12 (\frac{{(x^{2} + 6)}^{2} - x (2 (x^{2} + 6) \frac{d}{d x} (x^{2} + 6))}{{(x^{2} + 6)}^{4}})$

Этап 2.5

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 12 (\frac{{(x^{2} + 6)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 6) \frac{d}{d x} (x^{2} + 6))}{{(x^{2} + 6)}^{4}})$

Этап 2.5.2

Вынесем множитель $x^{2} + 6$ из ${(x^{2} + 6)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x^{2} + 6])$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Вынесем множитель $x^{2} + 6$ из ${(x^{2} + 6)}^{2}$ .

$f'' (x) = 12 (\frac{(x^{2} + 6) (x^{2} + 6) - 2 x ((x^{2} + 6) \frac{d}{d x} (x^{2} + 6))}{{(x^{2} + 6)}^{4}})$

Этап 2.5.2.2

Вынесем множитель $x^{2} + 6$ из $- 2 x ((x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x^{2} + 6])$ .

$f'' (x) = 12 (\frac{(x^{2} + 6) (x^{2} + 6) + (x^{2} + 6) (- 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 6)))}{{(x^{2} + 6)}^{4}})$

Этап 2.5.2.3

Вынесем множитель $x^{2} + 6$ из $(x^{2} + 6) (x^{2} + 6) + (x^{2} + 6) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 6]))$ .

$f'' (x) = 12 (\frac{(x^{2} + 6) (x^{2} + 6 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 6)))}{{(x^{2} + 6)}^{4}})$

Этап 2.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Вынесем множитель $x^{2} + 6$ из ${(x^{2} + 6)}^{4}$ .

$f'' (x) = 12 (\frac{(x^{2} + 6) (x^{2} + 6 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 6)))}{(x^{2} + 6) {(x^{2} + 6)}^{3}})$

Этап 2.6.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = 12 (\frac{(x^{2} + 6) (x^{2} + 6 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 6)))}{(x^{2} + 6) {(x^{2} + 6)}^{3}})$

Этап 2.6.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = 12 (\frac{x^{2} + 6 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 6))}{{(x^{2} + 6)}^{3}})$

Этап 2.7

По правилу суммы производная $x^{2} + 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$f'' (x) = 12 (\frac{x^{2} + 6 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (6))}{{(x^{2} + 6)}^{3}})$

Этап 2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 (\frac{x^{2} + 6 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} (6))}{{(x^{2} + 6)}^{3}})$

Этап 2.9

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 12 (\frac{x^{2} + 6 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 6)}^{3}})$

Этап 2.10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f'' (x) = 12 (\frac{x^{2} + 6 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 6)}^{3}})$

Этап 2.10.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f'' (x) = 12 (\frac{x^{2} + 6 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 6)}^{3}})$

Этап 2.11

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 12 (\frac{x^{2} + 6 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 6)}^{3}})$

Этап 2.12

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 12 (\frac{x^{2} + 6 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 6)}^{3}})$

Этап 2.13

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 12 (\frac{x^{2} + 6 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 6)}^{3}})$

Этап 2.14

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = 12 (\frac{x^{2} + 6 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 6)}^{3}})$

Этап 2.15

Вычтем $4 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$f'' (x) = 12 (\frac{- 3 x^{2} + 6}{{(x^{2} + 6)}^{3}})$

Этап 2.16

Объединим $12$ и $\frac{- 3 x^{2} + 6}{{(x^{2} + 6)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{12 (- 3 x^{2} + 6)}{{(x^{2} + 6)}^{3}}$

Этап 2.17

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{12 (- 3 x^{2}) + 12 \cdot 6}{{(x^{2} + 6)}^{3}}$

Этап 2.17.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.2.1

Умножим $- 3$ на $12$ .

$f'' (x) = \frac{- 36 x^{2} + 12 \cdot 6}{{(x^{2} + 6)}^{3}}$

Этап 2.17.2.2

Умножим $12$ на $6$ .

$f'' (x) = \frac{- 36 x^{2} + 72}{{(x^{2} + 6)}^{3}}$

Этап 2.17.3

Вынесем множитель $36$ из $- 36 x^{2} + 72$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.3.1

Вынесем множитель $36$ из $- 36 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{36 (- x^{2}) + 72}{{(x^{2} + 6)}^{3}}$

Этап 2.17.3.2

Вынесем множитель $36$ из $72$ .

$f'' (x) = \frac{36 (- x^{2}) + 36 (2)}{{(x^{2} + 6)}^{3}}$

Этап 2.17.3.3

Вынесем множитель $36$ из $36 (- x^{2}) + 36 (2)$ .

$f'' (x) = \frac{36 (- x^{2} + 2)}{{(x^{2} + 6)}^{3}}$

Этап 2.17.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{36 (- (x^{2}) + 2)}{{(x^{2} + 6)}^{3}}$

Этап 2.17.5

Перепишем $2$ в виде $- 1 (- 2)$ .

$f'' (x) = \frac{36 (- (x^{2}) - 1 \cdot - 2)}{{(x^{2} + 6)}^{3}}$

Этап 2.17.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - 1 (- 2)$ .

$f'' (x) = \frac{36 (- (x^{2} - 2))}{{(x^{2} + 6)}^{3}}$

Этап 2.17.7

Перепишем $- (x^{2} - 2)$ в виде $- 1 (x^{2} - 2)$ .

$f'' (x) = \frac{36 (- 1 (x^{2} - 2))}{{(x^{2} + 6)}^{3}}$

Этап 2.17.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{36 (x^{2} - 2)}{{(x^{2} + 6)}^{3}}$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 36$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{36 (x^{2} - 2)}{{(x^{2} + 6)}^{3}}$ по $x$ равна $- 36 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 2}{{(x^{2} + 6)}^{3}}]$ .

$f''' (x) = - 36 \frac{d}{d x} \frac{x^{2} - 2}{{(x^{2} + 6)}^{3}}$

Этап 3.2

$f''' (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 6)}^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 2) - (x^{2} - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 6)}^{3}}{{({(x^{2} + 6)}^{3})}^{2}}$

Этап 3.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} + 6)}^{3})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 6)}^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 2) - (x^{2} - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 6)}^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{3 \cdot 2}}$

Этап 3.3.1.2

Умножим $3$ на $2$ .

$f''' (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 6)}^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 2) - (x^{2} - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 6)}^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{6}}$

Этап 3.3.2

По правилу суммы производная $x^{2} - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f''' (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 6)}^{3} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2)) - (x^{2} - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 6)}^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{6}}$

Этап 3.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f''' (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 6)}^{3} (2 x + \frac{d}{d x} (- 2)) - (x^{2} - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 6)}^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{6}}$

Этап 3.3.4

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$f''' (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 6)}^{3} (2 x + 0) - (x^{2} - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 6)}^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{6}}$

Этап 3.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f''' (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 6)}^{3} (2 x) - (x^{2} - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 6)}^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{6}}$

Этап 3.3.5.2

Перенесем $2$ влево от ${(x^{2} + 6)}^{3}$ .

$f''' (x) = - 36 \frac{2 \cdot ({(x^{2} + 6)}^{3} x) - (x^{2} - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 6)}^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{6}}$

Этап 3.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 6$ .

$f''' (x) = - 36 \frac{2 {(x^{2} + 6)}^{3} x - (x^{2} - 2) (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 6))}{{(x^{2} + 6)}^{6}}$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f''' (x) = - 36 \frac{2 {(x^{2} + 6)}^{3} x - (x^{2} - 2) (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 6))}{{(x^{2} + 6)}^{6}}$

Этап 3.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 6$ .

$f''' (x) = - 36 \frac{2 {(x^{2} + 6)}^{3} x - (x^{2} - 2) (3 {(x^{2} + 6)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 6))}{{(x^{2} + 6)}^{6}}$

Этап 3.5

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f''' (x) = - 36 \frac{2 {(x^{2} + 6)}^{3} x - 3 (x^{2} - 2) ({(x^{2} + 6)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 6))}{{(x^{2} + 6)}^{6}}$

Этап 3.5.2

Вынесем множитель ${(x^{2} + 6)}^{2}$ из $2 {(x^{2} + 6)}^{3} x - 3 (x^{2} - 2) ({(x^{2} + 6)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6])$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Вынесем множитель ${(x^{2} + 6)}^{2}$ из $2 {(x^{2} + 6)}^{3} x$ .

$f''' (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 6)}^{2} (2 (x^{2} + 6) x) - 3 (x^{2} - 2) ({(x^{2} + 6)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 6))}{{(x^{2} + 6)}^{6}}$

Этап 3.5.2.2

Вынесем множитель ${(x^{2} + 6)}^{2}$ из $- 3 (x^{2} - 2) ({(x^{2} + 6)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6])$ .

$f''' (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 6)}^{2} (2 (x^{2} + 6) x) + {(x^{2} + 6)}^{2} (- 3 (x^{2} - 2) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 6)))}{{(x^{2} + 6)}^{6}}$

Этап 3.5.2.3

Вынесем множитель ${(x^{2} + 6)}^{2}$ из ${(x^{2} + 6)}^{2} (2 (x^{2} + 6) x) + {(x^{2} + 6)}^{2} (- 3 (x^{2} - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 6]))$ .

$f''' (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 6)}^{2} (2 (x^{2} + 6) x - 3 (x^{2} - 2) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 6)))}{{(x^{2} + 6)}^{6}}$

Этап 3.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Вынесем множитель ${(x^{2} + 6)}^{2}$ из ${(x^{2} + 6)}^{6}$ .

$f''' (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 6)}^{2} (2 (x^{2} + 6) x - 3 (x^{2} - 2) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 6)))}{{(x^{2} + 6)}^{2} {(x^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 3.6.2

Сократим общий множитель.

$f''' (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 6)}^{2} (2 (x^{2} + 6) x - 3 (x^{2} - 2) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 6)))}{{(x^{2} + 6)}^{2} {(x^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 3.6.3

Перепишем это выражение.

$f''' (x) = - 36 \frac{2 (x^{2} + 6) x - 3 (x^{2} - 2) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 6))}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 3.7

По правилу суммы производная $x^{2} + 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$f''' (x) = - 36 \frac{2 (x^{2} + 6) x - 3 (x^{2} - 2) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (6))}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f''' (x) = - 36 \frac{2 (x^{2} + 6) x - 3 (x^{2} - 2) (2 x + \frac{d}{d x} (6))}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 3.9

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6$ относительно $x$ равна $0$ .

$f''' (x) = - 36 \frac{2 (x^{2} + 6) x - 3 (x^{2} - 2) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 3.10

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f''' (x) = - 36 \frac{2 (x^{2} + 6) x - 3 (x^{2} - 2) (2 x)}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 3.10.2

Умножим $2$ на $- 3$ .

$f''' (x) = - 36 \frac{2 (x^{2} + 6) x - 6 (x^{2} - 2) x}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 3.10.3

Объединим $- 36$ и $\frac{2 (x^{2} + 6) x - 6 (x^{2} - 2) x}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$ .

$f''' (x) = \frac{- 36 (2 (x^{2} + 6) x - 6 (x^{2} - 2) x)}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 3.10.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f''' (x) = - \frac{(36) (2 (x^{2} + 6) x - 6 (x^{2} - 2) x)}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 3.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f''' (x) = - \frac{36 ((2 x^{2} + 2 \cdot 6) x - 6 (x^{2} - 2) x)}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 3.11.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f''' (x) = - \frac{36 (2 x^{2} x + 2 \cdot (6 x) - 6 (x^{2} - 2) x)}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 3.11.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f''' (x) = - \frac{36 (2 x^{2} x + 2 \cdot (6 x) + (- 6 x^{2} - 6 \cdot - 2) x)}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 3.11.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f''' (x) = - \frac{36 (2 x^{2} x + 2 \cdot (6 x) - 6 x^{2} x - 6 \cdot (- 2 x))}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 3.11.5

Применим свойство дистрибутивности.

$f''' (x) = - \frac{36 (2 x^{2} x) + 36 (2 \cdot (6 x)) + 36 (- 6 x^{2} x) + 36 (- 6 \cdot (- 2 x))}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 3.11.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.6.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.6.1.1.1

Перенесем $x$ .

$f''' (x) = - \frac{36 (2 (x \cdot x^{2})) + 36 (2 \cdot (6 x)) + 36 (- 6 x^{2} x) + 36 (- 6 \cdot (- 2 x))}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 3.11.6.1.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.6.1.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f''' (x) = - \frac{36 (2 (x \cdot x^{2})) + 36 (2 \cdot (6 x)) + 36 (- 6 x^{2} x) + 36 (- 6 \cdot (- 2 x))}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 3.11.6.1.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f''' (x) = - \frac{36 (2 x^{1 + 2}) + 36 (2 \cdot (6 x)) + 36 (- 6 x^{2} x) + 36 (- 6 \cdot (- 2 x))}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 3.11.6.1.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f''' (x) = - \frac{36 (2 x^{3}) + 36 (2 \cdot (6 x)) + 36 (- 6 x^{2} x) + 36 (- 6 \cdot (- 2 x))}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 3.11.6.1.2

Умножим $2$ на $36$ .

$f''' (x) = - \frac{72 x^{3} + 36 (2 \cdot (6 x)) + 36 (- 6 x^{2} x) + 36 (- 6 \cdot (- 2 x))}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 3.11.6.1.3

Умножим $2$ на $6$ .

$f''' (x) = - \frac{72 x^{3} + 36 (12 x) + 36 (- 6 x^{2} x) + 36 (- 6 \cdot (- 2 x))}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 3.11.6.1.4

Умножим $12$ на $36$ .

$f''' (x) = - \frac{72 x^{3} + 432 x + 36 (- 6 x^{2} x) + 36 (- 6 \cdot (- 2 x))}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 3.11.6.1.5

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.6.1.5.1

Перенесем $x$ .

$f''' (x) = - \frac{72 x^{3} + 432 x + 36 (- 6 (x \cdot x^{2})) + 36 (- 6 \cdot (- 2 x))}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 3.11.6.1.5.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.6.1.5.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f''' (x) = - \frac{72 x^{3} + 432 x + 36 (- 6 (x \cdot x^{2})) + 36 (- 6 \cdot (- 2 x))}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 3.11.6.1.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f''' (x) = - \frac{72 x^{3} + 432 x + 36 (- 6 x^{1 + 2}) + 36 (- 6 \cdot (- 2 x))}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 3.11.6.1.5.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f''' (x) = - \frac{72 x^{3} + 432 x + 36 (- 6 x^{3}) + 36 (- 6 \cdot (- 2 x))}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 3.11.6.1.6

Умножим $- 6$ на $36$ .

$f''' (x) = - \frac{72 x^{3} + 432 x - 216 x^{3} + 36 (- 6 \cdot (- 2 x))}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 3.11.6.1.7

Умножим $- 6$ на $- 2$ .

$f''' (x) = - \frac{72 x^{3} + 432 x - 216 x^{3} + 36 (12 x)}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 3.11.6.1.8

Умножим $12$ на $36$ .

$f''' (x) = - \frac{72 x^{3} + 432 x - 216 x^{3} + 432 x}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 3.11.6.2

Вычтем $216 x^{3}$ из $72 x^{3}$ .

$f''' (x) = - \frac{- 144 x^{3} + 432 x + 432 x}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 3.11.6.3

Добавим $432 x$ и $432 x$ .

$f''' (x) = - \frac{- 144 x^{3} + 864 x}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 3.11.7

Вынесем множитель $144 x$ из $- 144 x^{3} + 864 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.7.1

Вынесем множитель $144 x$ из $- 144 x^{3}$ .

$f''' (x) = - \frac{144 x (- x^{2}) + 864 x}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 3.11.7.2

Вынесем множитель $144 x$ из $864 x$ .

$f''' (x) = - \frac{144 x (- x^{2}) + 144 x (6)}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 3.11.7.3

Вынесем множитель $144 x$ из $144 x (- x^{2}) + 144 x (6)$ .

$f''' (x) = - \frac{144 x (- x^{2} + 6)}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 3.11.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$f''' (x) = - \frac{144 x (- (x^{2}) + 6)}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 3.11.9

Перепишем $6$ в виде $- 1 (- 6)$ .

$f''' (x) = - \frac{144 x (- (x^{2}) - 1 \cdot - 6)}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 3.11.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - 1 (- 6)$ .

$f''' (x) = - \frac{144 x (- (x^{2} - 6))}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 3.11.11

Перепишем $- (x^{2} - 6)$ в виде $- 1 (x^{2} - 6)$ .

$f''' (x) = - \frac{144 x (- 1 (x^{2} - 6))}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 3.11.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f''' (x) = \frac{(144 x) (x^{2} - 6)}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 3.11.13

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f''' (x) = 1 (\frac{(144 x) (x^{2} - 6)}{{(x^{2} + 6)}^{4}})$

Этап 3.11.14

Умножим $\frac{(144 x) (x^{2} - 6)}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$ на $1$ .

$f''' (x) = \frac{(144 x) (x^{2} - 6)}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$