Математический анализ Примеры

$y = \frac{x^{4} + 8}{x^{2}}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{4} + 8$ и $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{4} + 8] - (x^{4} + 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{4} + 8] - (x^{4} + 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Этап 1.2.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{4} + 8] - (x^{4} + 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 1.2.2

По правилу суммы производная $x^{4} + 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8]) - (x^{4} + 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{x^{2} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [8]) - (x^{4} + 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 1.2.4

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x^{2} (4 x^{3} + 0) - (x^{4} + 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 1.2.5

Добавим $4 x^{3}$ и $0$ .

$\frac{x^{2} (4 x^{3}) - (x^{4} + 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 1.3

Умножим $x^{2}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Перенесем $x^{3}$ .

$\frac{x^{3} x^{2} \cdot 4 - (x^{4} + 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 1.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{3 + 2} \cdot 4 - (x^{4} + 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 1.3.3

Добавим $3$ и $2$ .

$\frac{x^{5} \cdot 4 - (x^{4} + 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 1.4

Перенесем $4$ влево от $x^{5}$ .

$\frac{4 \cdot x^{5} - (x^{4} + 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 1.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{4 x^{5} - (x^{4} + 8) (2 x)}{x^{4}}$

Этап 1.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{4 x^{5} - 2 (x^{4} + 8) x}{x^{4}}$

Этап 1.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 x^{5} + (- 2 x^{4} - 2 \cdot 8) x}{x^{4}}$

Этап 1.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 x^{5} - 2 x^{4} x - 2 \cdot 8 x}{x^{4}}$

Этап 1.7.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.3.1.1

Умножим $x^{4}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.3.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{4 x^{5} - 2 (x \cdot x^{4}) - 2 \cdot 8 x}{x^{4}}$

Этап 1.7.3.1.1.2

Умножим $x$ на $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.3.1.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{4 x^{5} - 2 (x^{1} x^{4}) - 2 \cdot 8 x}{x^{4}}$

Этап 1.7.3.1.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 x^{5} - 2 x^{1 + 4} - 2 \cdot 8 x}{x^{4}}$

Этап 1.7.3.1.1.3

Добавим $1$ и $4$ .

$\frac{4 x^{5} - 2 x^{5} - 2 \cdot 8 x}{x^{4}}$

Этап 1.7.3.1.2

Умножим $- 2$ на $8$ .

$\frac{4 x^{5} - 2 x^{5} - 16 x}{x^{4}}$

Этап 1.7.3.2

Вычтем $2 x^{5}$ из $4 x^{5}$ .

$\frac{2 x^{5} - 16 x}{x^{4}}$

Этап 1.7.4

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x^{5} - 16 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.1

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x^{5}$ .

$\frac{2 x (x^{4}) - 16 x}{x^{4}}$

Этап 1.7.4.2

Вынесем множитель $2 x$ из $- 16 x$ .

$\frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 8)}{x^{4}}$

Этап 1.7.4.3

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (x^{4}) + 2 x (- 8)$ .

$\frac{2 x (x^{4} - 8)}{x^{4}}$

Этап 1.7.5

Сократим общий множитель $x$ и $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.5.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x (x^{4} - 8)$ .

$\frac{x (2 (x^{4} - 8))}{x^{4}}$

Этап 1.7.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.5.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{4}$ .

$\frac{x (2 (x^{4} - 8))}{x \cdot x^{3}}$

Этап 1.7.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x (2 (x^{4} - 8))}{x \cdot x^{3}}$

Этап 1.7.5.2.3

Перепишем это выражение.

$f' (x) = \frac{2 (x^{4} - 8)}{x^{3}}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2 (x^{4} - 8)}{x^{3}}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{4} - 8}{x^{3}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{4} - 8}{x^{3}}]$

Этап 2.2

$2 \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} - 8] - (x^{4} - 8) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} - 8] - (x^{4} - 8) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Этап 2.3.1.2

Умножим $3$ на $2$ .

$2 \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} - 8] - (x^{4} - 8) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 2.3.2

По правилу суммы производная $x^{4} - 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$2 \frac{x^{3} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8]) - (x^{4} - 8) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$2 \frac{x^{3} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8]) - (x^{4} - 8) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 2.3.4

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 \frac{x^{3} (4 x^{3} + 0) - (x^{4} - 8) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 2.3.5

Добавим $4 x^{3}$ и $0$ .

$2 \frac{x^{3} (4 x^{3}) - (x^{4} - 8) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 2.4

Умножим $x^{3}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перенесем $x^{3}$ .

$2 \frac{x^{3} x^{3} \cdot 4 - (x^{4} - 8) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 2.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 \frac{x^{3 + 3} \cdot 4 - (x^{4} - 8) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 2.4.3

Добавим $3$ и $3$ .

$2 \frac{x^{6} \cdot 4 - (x^{4} - 8) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 2.5

Перенесем $4$ влево от $x^{6}$ .

$2 \frac{4 \cdot x^{6} - (x^{4} - 8) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$2 \frac{4 x^{6} - (x^{4} - 8) (3 x^{2})}{x^{6}}$

Этап 2.7

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$2 \frac{4 x^{6} - 3 (x^{4} - 8) x^{2}}{x^{6}}$

Этап 2.7.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $4 x^{6} - 3 (x^{4} - 8) x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $4 x^{6}$ .

$2 \frac{x^{2} (4 x^{4}) - 3 (x^{4} - 8) x^{2}}{x^{6}}$

Этап 2.7.2.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- 3 (x^{4} - 8) x^{2}$ .

$2 \frac{x^{2} (4 x^{4}) + x^{2} (- 3 (x^{4} - 8))}{x^{6}}$

Этап 2.7.2.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} (4 x^{4}) + x^{2} (- 3 (x^{4} - 8))$ .

$2 \frac{x^{2} (4 x^{4} - 3 (x^{4} - 8))}{x^{6}}$

Этап 2.8

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{6}$ .

$2 \frac{x^{2} (4 x^{4} - 3 (x^{4} - 8))}{x^{2} x^{4}}$

Этап 2.8.2

Сократим общий множитель.

$2 \frac{x^{2} (4 x^{4} - 3 (x^{4} - 8))}{x^{2} x^{4}}$

Этап 2.8.3

Перепишем это выражение.

$2 \frac{4 x^{4} - 3 (x^{4} - 8)}{x^{4}}$

Этап 2.9

Объединим $2$ и $\frac{4 x^{4} - 3 (x^{4} - 8)}{x^{4}}$ .

$\frac{2 (4 x^{4} - 3 (x^{4} - 8))}{x^{4}}$

Этап 2.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (4 x^{4} - 3 x^{4} - 3 \cdot - 8)}{x^{4}}$

Этап 2.10.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (4 x^{4}) + 2 (- 3 x^{4}) + 2 (- 3 \cdot - 8)}{x^{4}}$

Этап 2.10.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.3.1.1

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{8 x^{4} + 2 (- 3 x^{4}) + 2 (- 3 \cdot - 8)}{x^{4}}$

Этап 2.10.3.1.2

Умножим $- 3$ на $2$ .

$\frac{8 x^{4} - 6 x^{4} + 2 (- 3 \cdot - 8)}{x^{4}}$

Этап 2.10.3.1.3

Умножим $2 (- 3 \cdot - 8)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.3.1.3.1

Умножим $- 3$ на $- 8$ .

$\frac{8 x^{4} - 6 x^{4} + 2 \cdot 24}{x^{4}}$

Этап 2.10.3.1.3.2

Умножим $2$ на $24$ .

$\frac{8 x^{4} - 6 x^{4} + 48}{x^{4}}$

Этап 2.10.3.2

Вычтем $6 x^{4}$ из $8 x^{4}$ .

$\frac{2 x^{4} + 48}{x^{4}}$

Этап 2.10.4

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{4} + 48$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{4}$ .

$\frac{2 (x^{4}) + 48}{x^{4}}$

Этап 2.10.4.2

Вынесем множитель $2$ из $48$ .

$\frac{2 x^{4} + 2 \cdot 24}{x^{4}}$

Этап 2.10.4.3

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{4} + 2 \cdot 24$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x^{4} + 24)}{x^{4}}$