Математический анализ Примеры

$\frac{9 x^{2} + 25}{x}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 9 x^{2} + 25$ и $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 25] - (9 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $9 x^{2} + 25$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]) - (9 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.1.2.2

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x^{2}$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]) - (9 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{x (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [25]) - (9 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.1.2.4

Умножим $2$ на $9$ .

$\frac{x (18 x + \frac{d}{d x} [25]) - (9 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.1.2.5

Поскольку $25$ является константой относительно $x$ , производная $25$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x (18 x + 0) - (9 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.1.2.6

Добавим $18 x$ и $0$ .

$\frac{x (18 x) - (9 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.1.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{18 (x^{1} x) - (9 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.1.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{18 (x^{1} x^{1}) - (9 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.1.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{18 x^{1 + 1} - (9 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.1.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{18 x^{2} - (9 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.1.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{18 x^{2} - (9 x^{2} + 25) \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 1.1.8

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{18 x^{2} - (9 x^{2} + 25)}{x^{2}}$

Этап 1.1.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{18 x^{2} - (9 x^{2}) - 1 \cdot 25}{x^{2}}$

Этап 1.1.9.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.2.1.1

Умножим $9$ на $- 1$ .

$\frac{18 x^{2} - 9 x^{2} - 1 \cdot 25}{x^{2}}$

Этап 1.1.9.2.1.2

Умножим $- 1$ на $25$ .

$\frac{18 x^{2} - 9 x^{2} - 25}{x^{2}}$

Этап 1.1.9.2.2

Вычтем $9 x^{2}$ из $18 x^{2}$ .

$\frac{9 x^{2} - 25}{x^{2}}$

Этап 1.1.9.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.3.1

Перепишем $9 x^{2}$ в виде ${(3 x)}^{2}$ .

$\frac{{(3 x)}^{2} - 25}{x^{2}}$

Этап 1.1.9.3.2

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{{(3 x)}^{2} - 5^{2}}{x^{2}}$

Этап 1.1.9.3.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 3 x$ и $b = 5$ .

$f' (x) = \frac{(3 x + 5) (3 x - 5)}{x^{2}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{(3 x + 5) (3 x - 5)}{x^{2}}$ .

$\frac{(3 x + 5) (3 x - 5)}{x^{2}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{(3 x + 5) (3 x - 5)}{x^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{(3 x + 5) (3 x - 5)}{x^{2}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$(3 x + 5) (3 x - 5) = 0$

Этап 2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 x + 5 = 0$

$3 x - 5 = 0$

Этап 2.3.2

Приравняем $3 x + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Приравняем $3 x + 5$ к $0$ .

$3 x + 5 = 0$

Этап 2.3.2.2

Решим $3 x + 5 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$3 x = - 5$

Этап 2.3.2.2.2

Разделим каждый член $3 x = - 5$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = - 5$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 5}{3}$

Этап 2.3.2.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 5}{3}$

Этап 2.3.2.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 5}{3}$

Этап 2.3.2.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{5}{3}$

Этап 2.3.3

Приравняем $3 x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Приравняем $3 x - 5$ к $0$ .

$3 x - 5 = 0$

Этап 2.3.3.2

Решим $3 x - 5 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$3 x = 5$

Этап 2.3.3.2.2

Разделим каждый член $3 x = 5$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = 5$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

Этап 2.3.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

Этап 2.3.3.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{5}{3}$

Этап 2.3.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(3 x + 5) (3 x - 5) = 0$ верно.

$x = - \frac{5}{3}, \frac{5}{3}$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим знаменатель в $\frac{(3 x + 5) (3 x - 5)}{x^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} = 0$

Этап 3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 3.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 3.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 3.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 4

Вычислим $\frac{9 x^{2} + 25}{x}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = - \frac{5}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $- \frac{5}{3}$ вместо $x$ .

$\frac{9 {(- \frac{5}{3})}^{2} + 25}{- \frac{5}{3}}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$(9 {(- \frac{5}{3})}^{2} + 25) (- \frac{3}{5})$

Этап 4.1.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{5}{3}$ .

$(9 ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{3})}^{2}) + 25) (- \frac{3}{5})$

Этап 4.1.2.2.1.2

Применим правило умножения к $\frac{5}{3}$ .

$(9 ({(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{3^{2}}) + 25) (- \frac{3}{5})$

Этап 4.1.2.2.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$(9 (1 \frac{5^{2}}{3^{2}}) + 25) (- \frac{3}{5})$

Этап 4.1.2.2.3

Умножим $\frac{5^{2}}{3^{2}}$ на $1$ .

$(9 \frac{5^{2}}{3^{2}} + 25) (- \frac{3}{5})$

Этап 4.1.2.2.4

Возведем $5$ в степень $2$ .

$(9 \frac{25}{3^{2}} + 25) (- \frac{3}{5})$

Этап 4.1.2.2.5

Возведем $3$ в степень $2$ .

$(9 (\frac{25}{9}) + 25) (- \frac{3}{5})$

Этап 4.1.2.2.6

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.6.1

Сократим общий множитель.

$(9 (\frac{25}{9}) + 25) (- \frac{3}{5})$

Этап 4.1.2.2.6.2

Перепишем это выражение.

$(25 + 25) (- \frac{3}{5})$

Этап 4.1.2.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Добавим $25$ и $25$ .

$50 (- \frac{3}{5})$

Этап 4.1.2.3.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3}{5}$ в числитель.

$50 (\frac{- 3}{5})$

Этап 4.1.2.3.2.2

Вынесем множитель $5$ из $50$ .

$5 (10) \frac{- 3}{5}$

Этап 4.1.2.3.2.3

Сократим общий множитель.

$5 \cdot 10 \frac{- 3}{5}$

Этап 4.1.2.3.2.4

Перепишем это выражение.

$10 \cdot - 3$

Этап 4.1.2.3.3

Умножим $10$ на $- 3$ .

$- 30$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = \frac{5}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $\frac{5}{3}$ вместо $x$ .

$\frac{9 {(\frac{5}{3})}^{2} + 25}{\frac{5}{3}}$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$(9 {(\frac{5}{3})}^{2} + 25) \frac{3}{5}$

Этап 4.2.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Применим правило умножения к $\frac{5}{3}$ .

$(9 \frac{5^{2}}{3^{2}} + 25) \frac{3}{5}$

Этап 4.2.2.2.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$(9 \frac{25}{3^{2}} + 25) \frac{3}{5}$

Этап 4.2.2.2.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$(9 (\frac{25}{9}) + 25) \frac{3}{5}$

Этап 4.2.2.2.4

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.4.1

Сократим общий множитель.

$(9 (\frac{25}{9}) + 25) \frac{3}{5}$

Этап 4.2.2.2.4.2

Перепишем это выражение.

$(25 + 25) \frac{3}{5}$

Этап 4.2.2.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.3.1

Добавим $25$ и $25$ .

$50 (\frac{3}{5})$

Этап 4.2.2.3.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.3.2.1

Вынесем множитель $5$ из $50$ .

$5 (10) \frac{3}{5}$

Этап 4.2.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$5 \cdot 10 \frac{3}{5}$

Этап 4.2.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$10 \cdot 3$

Этап 4.2.2.3.3

Умножим $10$ на $3$ .

$30$

Этап 4.3

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$\frac{9 {(0)}^{2} + 25}{0}$

Этап 4.3.2

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Этап 4.4

Перечислим все точки.

$(- \frac{5}{3}, - 30), (\frac{5}{3}, 30)$

Этап 5