Математический анализ Примеры

$2 \sin (x) - \cos (2 x)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $2 \sin (x) - \cos (2 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- \cos (2 x))$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \sin (x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \frac{d}{d x} (- \cos (2 x))$

Этап 1.1.2.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$f' (x) = 2 \cos (x) + \frac{d}{d x} (- \cos (2 x))$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \cos (2 x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$f' (x) = 2 \cos (x) - \frac{d}{d x} \cos (2 x)$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$f' (x) = 2 \cos (x) - (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

Этап 1.1.3.2.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$f' (x) = 2 \cos (x) - (- \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

Этап 1.1.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$f' (x) = 2 \cos (x) - (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Этап 1.1.3.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 2 \cos (x) - (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Этап 1.1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 2 \cos (x) - (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Этап 1.1.3.5

Умножим $2$ на $1$ .

$f' (x) = 2 \cos (x) - (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Этап 1.1.3.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (x) = 2 \cos (x) - (- 2 \sin (2 x))$

Этап 1.1.3.7

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$f' (x) = 2 \cos (x) + 2 \sin (2 x)$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $2 \cos (x) + 2 \sin (2 x)$ .

$2 \cos (x) + 2 \sin (2 x)$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $2 \cos (x) + 2 \sin (2 x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$2 \cos (x) + 2 \sin (2 x) = 0$

Этап 2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим формулу двойного угла для синуса.

$2 \cos (x) + 2 (2 \sin (x) \cos (x)) = 0$

Этап 2.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$2 \cos (x) + 4 \sin (x) \cos (x) = 0$

Этап 2.3

Вынесем множитель $2 \cos (x)$ из $2 \cos (x) + 4 \sin (x) \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вынесем множитель $2 \cos (x)$ из $2 \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \cdot 1 + 4 \sin (x) \cos (x) = 0$

Этап 2.3.2

Вынесем множитель $2 \cos (x)$ из $4 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (2 \sin (x)) = 0$

Этап 2.3.3

Вынесем множитель $2 \cos (x)$ из $2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (2 \sin (x))$ .

$2 \cos (x) (1 + 2 \sin (x)) = 0$

Этап 2.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\cos (x) = 0$

$1 + 2 \sin (x) = 0$

Этап 2.5

Приравняем $\cos (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $\cos (x)$ к $0$ .

$\cos (x) = 0$

Этап 2.5.2

Решим $\cos (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (0)$

Этап 2.5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 2.5.2.3

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 2.5.2.4

Упростим $2 π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 2.5.2.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 2.5.2.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 2.5.2.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Этап 2.5.2.4.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 2.5.2.5

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.5.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 2.5.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 2.5.2.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 2.5.2.6

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.6

Приравняем $1 + 2 \sin (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Приравняем $1 + 2 \sin (x)$ к $0$ .

$1 + 2 \sin (x) = 0$

Этап 2.6.2

Решим $1 + 2 \sin (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 \sin (x) = - 1$

Этап 2.6.2.2

Разделим каждый член $2 \sin (x) = - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.1

Разделим каждый член $2 \sin (x) = - 1$ на $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 2.6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 2.6.2.2.2.1.2

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{2}$

Этап 2.6.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

Этап 2.6.2.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Этап 2.6.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.4.1

Точное значение $\arcsin (- \frac{1}{2})$ : $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Этап 2.6.2.5

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Этап 2.6.2.6

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.6.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Этап 2.6.2.6.2

Результирующий угол $\frac{7 π}{6}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{6} + π$ на полный оборот.

$x = \frac{7 π}{6}$

Этап 2.6.2.7

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.6.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 2.6.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 2.6.2.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 2.6.2.8

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.8.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{6}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Этап 2.6.2.8.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 2.6.2.8.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.8.3.1

Объединим $2 π$ и $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 2.6.2.8.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Этап 2.6.2.8.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.8.4.1

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Этап 2.6.2.8.4.2

Вычтем $π$ из $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Этап 2.6.2.8.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{11 π}{6}$

Этап 2.6.2.9

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 \cos (x) (1 + 2 \sin (x)) = 0$ верно.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $2 \sin (x) - \cos (2 x)$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $\frac{π}{2}$ вместо $x$ .

$2 \sin (\frac{π}{2}) - \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$2 \cdot 1 - \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Этап 4.1.2.1.2

Умножим $2$ на $1$ .

$2 - \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Этап 4.1.2.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$2 - \cos (2 \frac{π}{2})$

Этап 4.1.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$2 - \cos (π)$

Этап 4.1.2.1.4

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$2 - - \cos (0)$

Этап 4.1.2.1.5

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$2 - (- 1 \cdot 1)$

Этап 4.1.2.1.6

Умножим $- (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.6.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 - - 1$

Этап 4.1.2.1.6.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$2 + 1$

Этап 4.1.2.2

Добавим $2$ и $1$ .

$3$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = \frac{3 π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $\frac{3 π}{2}$ вместо $x$ .

$2 \sin (\frac{3 π}{2}) - \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в четвертом квадранте.

$2 (- \sin (\frac{π}{2})) - \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Этап 4.2.2.1.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$2 (- 1 \cdot 1) - \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Этап 4.2.2.1.3

Умножим $2 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 \cdot - 1 - \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Этап 4.2.2.1.3.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 - \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Этап 4.2.2.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$- 2 - \cos (2 \frac{3 π}{2})$

Этап 4.2.2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$- 2 - \cos (3 π)$

Этап 4.2.2.1.5

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$- 2 - \cos (π)$

Этап 4.2.2.1.6

$- 2 - - \cos (0)$

Этап 4.2.2.1.7

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$- 2 - (- 1 \cdot 1)$

Этап 4.2.2.1.8

Умножим $- (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.8.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 2 - - 1$

Этап 4.2.2.1.8.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- 2 + 1$

Этап 4.2.2.2

Добавим $- 2$ и $1$ .

$- 1$

Этап 4.3

Найдем значение в $x = \frac{7 π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $\frac{7 π}{6}$ вместо $x$ .

$2 \sin (\frac{7 π}{6}) - \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

Этап 4.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в третьем квадранте.

$2 (- \sin (\frac{π}{6})) - \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

Этап 4.3.2.1.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{6})$ : $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{1}{2}) - \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

Этап 4.3.2.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2}$ в числитель.

$2 (\frac{- 1}{2}) - \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

Этап 4.3.2.1.3.2

Сократим общий множитель.

$2 (\frac{- 1}{2}) - \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

Этап 4.3.2.1.3.3

Перепишем это выражение.

$- 1 - \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

Этап 4.3.2.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$- 1 - \cos (2 \frac{7 π}{2 (3)})$

Этап 4.3.2.1.4.2

Сократим общий множитель.

$- 1 - \cos (2 \frac{7 π}{2 \cdot 3})$

Этап 4.3.2.1.4.3

Перепишем это выражение.

$- 1 - \cos (\frac{7 π}{3})$

Этап 4.3.2.1.5

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$- 1 - \cos (\frac{π}{3})$

Этап 4.3.2.1.6

Точное значение $\cos (\frac{π}{3})$ : $\frac{1}{2}$ .

$- 1 - \frac{1}{2}$

Этап 4.3.2.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Этап 4.3.2.3

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Этап 4.3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 1 \cdot 2 - 1}{2}$

Этап 4.3.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{- 2 - 1}{2}$

Этап 4.3.2.5.2

Вычтем $1$ из $- 2$ .

$\frac{- 3}{2}$

Этап 4.3.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3}{2}$

Этап 4.4

Перечислим все точки.

$(\frac{π}{2} + 2 π n, 3), (\frac{3 π}{2} + 2 π n, - 1), (\frac{7 π}{6} + 2 π n, - \frac{3}{2})$ , для любого целого $n$

Этап 5