Математический анализ Примеры

$\sum_{k = 1}^{3} {(- 1)}^{k + 3} \cos (\frac{π}{k})$

Этап 1

Развернем ряд для каждого значения $k$ .

${(- 1)}^{1 + 3} \cos (\frac{π}{1}) + {(- 1)}^{2 + 3} \cos (\frac{π}{2}) + {(- 1)}^{3 + 3} \cos (\frac{π}{3})$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Добавим $1$ и $3$ .

${(- 1)}^{4} \cos (\frac{π}{1}) + {(- 1)}^{2 + 3} \cos (\frac{π}{2}) + {(- 1)}^{3 + 3} \cos (\frac{π}{3})$

Этап 2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$1 \cos (\frac{π}{1}) + {(- 1)}^{2 + 3} \cos (\frac{π}{2}) + {(- 1)}^{3 + 3} \cos (\frac{π}{3})$

Этап 2.1.3

Умножим $\cos (\frac{π}{1})$ на $1$ .

$\cos (\frac{π}{1}) + {(- 1)}^{2 + 3} \cos (\frac{π}{2}) + {(- 1)}^{3 + 3} \cos (\frac{π}{3})$

Этап 2.1.4

Разделим $π$ на $1$ .

$\cos (π) + {(- 1)}^{2 + 3} \cos (\frac{π}{2}) + {(- 1)}^{3 + 3} \cos (\frac{π}{3})$

Этап 2.1.5

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$- \cos (0) + {(- 1)}^{2 + 3} \cos (\frac{π}{2}) + {(- 1)}^{3 + 3} \cos (\frac{π}{3})$

Этап 2.1.6

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$- 1 \cdot 1 + {(- 1)}^{2 + 3} \cos (\frac{π}{2}) + {(- 1)}^{3 + 3} \cos (\frac{π}{3})$

Этап 2.1.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1 + {(- 1)}^{2 + 3} \cos (\frac{π}{2}) + {(- 1)}^{3 + 3} \cos (\frac{π}{3})$

Этап 2.1.8

Добавим $2$ и $3$ .

$- 1 + {(- 1)}^{5} \cos (\frac{π}{2}) + {(- 1)}^{3 + 3} \cos (\frac{π}{3})$

Этап 2.1.9

Возведем $- 1$ в степень $5$ .

$- 1 - 1 \cos (\frac{π}{2}) + {(- 1)}^{3 + 3} \cos (\frac{π}{3})$

Этап 2.1.10

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$- 1 - 1 \cdot 0 + {(- 1)}^{3 + 3} \cos (\frac{π}{3})$

Этап 2.1.11

Умножим $- 1$ на $0$ .

$- 1 + 0 + {(- 1)}^{3 + 3} \cos (\frac{π}{3})$

Этап 2.1.12

Добавим $3$ и $3$ .

$- 1 + 0 + {(- 1)}^{6} \cos (\frac{π}{3})$

Этап 2.1.13

Возведем $- 1$ в степень $6$ .

$- 1 + 0 + 1 \cos (\frac{π}{3})$

Этап 2.1.14

Умножим $\cos (\frac{π}{3})$ на $1$ .

$- 1 + 0 + \cos (\frac{π}{3})$

Этап 2.1.15

Точное значение $\cos (\frac{π}{3})$ : $\frac{1}{2}$ .

$- 1 + 0 + \frac{1}{2}$

Этап 2.2

Добавим $- 1$ и $0$ .

$- 1 + \frac{1}{2}$

Этап 2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 1 \cdot 2 + 1}{2}$

Этап 2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{- 2 + 1}{2}$

Этап 2.6.2

Добавим $- 2$ и $1$ .

$\frac{- 1}{2}$

Этап 2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{2}$

Этап 3

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{1}{2}$

Десятичная форма:

$- 0.5$