Математический анализ Примеры

$y = \frac{- 7}{\sqrt[4]{x}}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[4]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{4}}$ .

$y = \frac{- 7}{x^{\frac{1}{4}}}$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{- 7}{x^{\frac{1}{4}}})$

Этап 3

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{\frac{1}{4}}}]$

Этап 4.2

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{7}{x^{\frac{1}{4}}}$ по $x$ равна $- 7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}]$ .

$- 7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}]$

Этап 4.3

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Перепишем $\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ в виде ${(x^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$ .

$- 7 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{4}})}^{- 1}]$

Этап 4.3.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4} \cdot - 1}]$

Этап 4.3.2.2

Объединим $\frac{1}{4}$ и $- 1$ .

$- 7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{4}}]$

Этап 4.3.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 7 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{4}}]$

Этап 4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - \frac{1}{4}$ .

$- 7 (- \frac{1}{4} x^{- \frac{1}{4} - 1})$

Этап 4.5

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$- 7 (- \frac{1}{4} x^{- \frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Этап 4.6

Объединим $- 1$ и $\frac{4}{4}$ .

$- 7 (- \frac{1}{4} x^{- \frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Этап 4.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 7 (- \frac{1}{4} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 4}{4}})$

Этап 4.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$- 7 (- \frac{1}{4} x^{\frac{- 1 - 4}{4}})$

Этап 4.8.2

Вычтем $4$ из $- 1$ .

$- 7 (- \frac{1}{4} x^{\frac{- 5}{4}})$

Этап 4.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 7 (- \frac{1}{4} x^{- \frac{5}{4}})$

Этап 4.10

Объединим $x^{- \frac{5}{4}}$ и $\frac{1}{4}$ .

$- 7 (- \frac{x^{- \frac{5}{4}}}{4})$

Этап 4.11

Умножим $- 1$ на $- 7$ .

$7 \frac{x^{- \frac{5}{4}}}{4}$

Этап 4.12

Объединим $7$ и $\frac{x^{- \frac{5}{4}}}{4}$ .

$\frac{7 x^{- \frac{5}{4}}}{4}$

Этап 4.13

Перенесем $x^{- \frac{5}{4}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{7}{4 x^{\frac{5}{4}}}$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \frac{7}{4 x^{\frac{5}{4}}}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{7}{4 x^{\frac{5}{4}}}$