Математический анализ Примеры

$y = (6 x^{2} - 12 x + 12) e^{x}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ((6 x^{2} - 12 x + 12) e^{x})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 6 x^{2} - 12 x + 12$ и $g (x) = e^{x}$ .

$(6 x^{2} - 12 x + 12) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 12 x + 12]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$(6 x^{2} - 12 x + 12) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 12 x + 12]$

Этап 3.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

По правилу суммы производная $6 x^{2} - 12 x + 12$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$(6 x^{2} - 12 x + 12) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [12])$

Этап 3.3.2

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x^{2}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(6 x^{2} - 12 x + 12) e^{x} + e^{x} (6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [12])$

Этап 3.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(6 x^{2} - 12 x + 12) e^{x} + e^{x} (6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [12])$

Этап 3.3.4

Умножим $2$ на $6$ .

$(6 x^{2} - 12 x + 12) e^{x} + e^{x} (12 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [12])$

Этап 3.3.5

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12 x$ по $x$ равна $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(6 x^{2} - 12 x + 12) e^{x} + e^{x} (12 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12])$

Этап 3.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(6 x^{2} - 12 x + 12) e^{x} + e^{x} (12 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [12])$

Этап 3.3.7

Умножим $- 12$ на $1$ .

$(6 x^{2} - 12 x + 12) e^{x} + e^{x} (12 x - 12 + \frac{d}{d x} [12])$

Этап 3.3.8

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12$ относительно $x$ равна $0$ .

$(6 x^{2} - 12 x + 12) e^{x} + e^{x} (12 x - 12 + 0)$

Этап 3.3.9

Добавим $12 x - 12$ и $0$ .

$(6 x^{2} - 12 x + 12) e^{x} + e^{x} (12 x - 12)$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x^{2} e^{x} - 12 x e^{x} + 12 e^{x} + e^{x} (12 x - 12)$

Этап 3.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x^{2} e^{x} - 12 x e^{x} + 12 e^{x} + e^{x} (12 x) + e^{x} \cdot - 12$

Этап 3.4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Перенесем $- 12$ влево от $e^{x}$ .

$6 x^{2} e^{x} - 12 x e^{x} + 12 e^{x} + e^{x} (12 x) - 12 \cdot e^{x}$

Этап 3.4.3.2

Добавим $- 12 x e^{x}$ и $e^{x} (12 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1

Перенесем $e^{x}$ .

$6 x^{2} e^{x} + 12 e^{x} - 12 x e^{x} + 12 x e^{x} - 12 e^{x}$

Этап 3.4.3.2.2

Добавим $- 12 x e^{x}$ и $12 x e^{x}$ .

$6 x^{2} e^{x} + 12 e^{x} + 0 - 12 e^{x}$

Этап 3.4.3.3

Добавим $6 x^{2} e^{x} + 12 e^{x}$ и $0$ .

$6 x^{2} e^{x} + 12 e^{x} - 12 e^{x}$

Этап 3.4.3.4

Вычтем $12 e^{x}$ из $12 e^{x}$ .

$6 x^{2} e^{x} + 0$

Этап 3.4.3.5

Добавим $6 x^{2} e^{x}$ и $0$ .

$6 x^{2} e^{x}$

Этап 3.4.4

Изменим порядок множителей в $6 x^{2} e^{x}$ .

$6 e^{x} x^{2}$

Этап 3.4.5

Изменим порядок множителей в $6 e^{x} x^{2}$ .

$6 x^{2} e^{x}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = 6 x^{2} e^{x}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 6 x^{2} e^{x}$