Математический анализ Примеры

$y = \frac{x - 15}{\sqrt{x} - \sqrt{15}}$

Этап 1

Запишем правую часть в виде рациональных экспонент.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{x - 15}{x^{\frac{1}{2}} - \sqrt{15}}$

Этап 1.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{15}$ в виде $15^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{x - 15}{x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x - 15}{x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}}})$

Этап 3

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x - 15$ и $g (x) = x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x - 15] - (x - 15) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

По правилу суммы производная $x - 15$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 15]$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 15]) - (x - 15) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{d}{d x} [- 15]) - (x - 15) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.2.3

Поскольку $- 15$ является константой относительно $x$ , производная $- 15$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}}) (1 + 0) - (x - 15) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 - (x - 15) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.2.4.2

Умножим $x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}} - (x - 15) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.2.5

По правилу суммы производная $x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 15^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}} - (x - 15) (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 15^{\frac{1}{2}}])}{{(x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}} - (x - 15) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 15^{\frac{1}{2}}])}{{(x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}} - (x - 15) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 15^{\frac{1}{2}}])}{{(x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}} - (x - 15) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 15^{\frac{1}{2}}])}{{(x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}} - (x - 15) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 15^{\frac{1}{2}}])}{{(x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}} - (x - 15) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 15^{\frac{1}{2}}])}{{(x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}} - (x - 15) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 15^{\frac{1}{2}}])}{{(x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}} - (x - 15) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 15^{\frac{1}{2}}])}{{(x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.7.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}} - (x - 15) (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 15^{\frac{1}{2}}])}{{(x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.7.3

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}} - (x - 15) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 15^{\frac{1}{2}}])}{{(x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.8

Поскольку $- 15^{\frac{1}{2}}$ является константой относительно $x$ , производная $- 15^{\frac{1}{2}}$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}} - (x - 15) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0)}{{(x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.9

Добавим $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ и $0$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}} - (x - 15) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}} + (- x - - 15) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.10.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}} - x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - 15 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.10.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.3.1.1

Объединим $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - 15 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.10.3.1.2

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}} - \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} - - 15 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.10.3.1.3

Умножим $x$ на $x^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.3.1.3.1

Умножим $x$ на $x^{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.3.1.3.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} - - 15 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.10.3.1.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} - - 15 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.10.3.1.3.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - - 15 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.10.3.1.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} - - 15 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.10.3.1.3.4

Вычтем $1$ из $2$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - - 15 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.10.3.1.4

Умножим $- 1$ на $- 15$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + 15 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.10.3.1.5

Объединим $15$ и $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.10.3.2

Чтобы записать $x^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - 15^{\frac{1}{2}} + \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.10.3.3

Объединим $x^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - 15^{\frac{1}{2}} + \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.10.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - x^{\frac{1}{2}}}{2} - 15^{\frac{1}{2}} + \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.10.3.5

Вычтем $x^{\frac{1}{2}}$ из $x^{\frac{1}{2}} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.3.5.1

Изменим порядок $x^{\frac{1}{2}}$ и $2$ .

$\frac{\frac{2 \cdot x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}}{2} - 15^{\frac{1}{2}} + \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.10.3.5.2

Вычтем $x^{\frac{1}{2}}$ из $2 \cdot x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - 15^{\frac{1}{2}} + \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.10.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.4.1

Умножим $\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - 15^{\frac{1}{2}} + \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ на $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - 15^{\frac{1}{2}} + \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.10.4.2

Объединим.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - 15^{\frac{1}{2}} + \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.10.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 x^{\frac{1}{2}} (- 15^{\frac{1}{2}}) + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.10.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.4.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (x^{\frac{1}{2}}) \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 x^{\frac{1}{2}} (- 15^{\frac{1}{2}}) + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.10.4.4.2

Сократим общий множитель.

Этап 4.10.4.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} (- 15^{\frac{1}{2}}) + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.10.4.5

Умножим $x^{\frac{1}{2}}$ на $x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.4.5.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} (- 15^{\frac{1}{2}}) + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.10.4.5.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x^{\frac{1 + 1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} (- 15^{\frac{1}{2}}) + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.10.4.5.3

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{x^{\frac{2}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} (- 15^{\frac{1}{2}}) + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.10.4.5.4

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{x^{1} + 2 x^{\frac{1}{2}} (- 15^{\frac{1}{2}}) + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.10.4.6

Упростим $x^{1}$ .

$\frac{x + 2 x^{\frac{1}{2}} (- 15^{\frac{1}{2}}) + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.10.4.7

Сократим общий множитель $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.4.7.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x + 2 x^{\frac{1}{2}} (- 15^{\frac{1}{2}}) + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.10.4.7.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x + 2 x^{\frac{1}{2}} (- 15^{\frac{1}{2}}) + 15}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.10.4.8

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{x - 2 x^{\frac{1}{2}} \cdot 15^{\frac{1}{2}} + 15}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.10.5

Изменим порядок членов.

$\frac{- 2 \cdot 15^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x + 15}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.10.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 \cdot 15^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- (2 \cdot 15^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + x + 15}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.10.7

Вынесем множитель $- 1$ из $x$ .

$\frac{- (2 \cdot 15^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - 1 (- x) + 15}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.10.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 \cdot 15^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - 1 (- x)$ .

$\frac{- (2 \cdot 15^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} - x) + 15}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.10.9

Перепишем $15$ в виде $- 1 (- 15)$ .

$\frac{- (2 \cdot 15^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} - x) - 1 (- 15)}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.10.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 \cdot 15^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} - x) - 1 (- 15)$ .

$\frac{- (2 \cdot 15^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} - x - 15)}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.10.11

Перепишем $- (2 \cdot 15^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} - x - 15)$ в виде $- 1 (2 \cdot 15^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} - x - 15)$ .

$\frac{- 1 (2 \cdot 15^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} - x - 15)}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.10.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 \cdot 15^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} - x - 15}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = - \frac{2 \cdot (15^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - x - 15}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 \cdot (15^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - x - 15}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$