Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 1} \frac{- x^{4} - 5 x^{2} + 6}{x^{3} + x^{2} - x - 1}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 1} - x^{4} - 5 x^{2} + 6}{lim_{x \to 1} x^{3} + x^{2} - x - 1}$

Этап 1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{- lim_{x \to 1} x^{4} - lim_{x \to 1} 5 x^{2} + lim_{x \to 1} 6}{lim_{x \to 1} x^{3} + x^{2} - x - 1}$

Этап 1.2.2

Вынесем степень $4$ в выражении $x^{4}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{- {(lim_{x \to 1} x)}^{4} - lim_{x \to 1} 5 x^{2} + lim_{x \to 1} 6}{lim_{x \to 1} x^{3} + x^{2} - x - 1}$

Этап 1.2.3

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{- {(lim_{x \to 1} x)}^{4} - 5 lim_{x \to 1} x^{2} + lim_{x \to 1} 6}{lim_{x \to 1} x^{3} + x^{2} - x - 1}$

Этап 1.2.4

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{- {(lim_{x \to 1} x)}^{4} - 5 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + lim_{x \to 1} 6}{lim_{x \to 1} x^{3} + x^{2} - x - 1}$

Этап 1.2.5

Найдем предел $6$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{- {(lim_{x \to 1} x)}^{4} - 5 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 6}{lim_{x \to 1} x^{3} + x^{2} - x - 1}$

Этап 1.2.6

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{- 1^{4} - 5 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 6}{lim_{x \to 1} x^{3} + x^{2} - x - 1}$

Этап 1.2.6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{- 1^{4} - 5 \cdot 1^{2} + 6}{lim_{x \to 1} x^{3} + x^{2} - x - 1}$

Этап 1.2.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{- 1 \cdot 1 - 5 \cdot 1^{2} + 6}{lim_{x \to 1} x^{3} + x^{2} - x - 1}$

Этап 1.2.7.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{- 1 - 5 \cdot 1^{2} + 6}{lim_{x \to 1} x^{3} + x^{2} - x - 1}$

Этап 1.2.7.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{- 1 - 5 \cdot 1 + 6}{lim_{x \to 1} x^{3} + x^{2} - x - 1}$

Этап 1.2.7.1.4

Умножим $- 5$ на $1$ .

$\frac{- 1 - 5 + 6}{lim_{x \to 1} x^{3} + x^{2} - x - 1}$

Этап 1.2.7.2

Вычтем $5$ из $- 1$ .

$\frac{- 6 + 6}{lim_{x \to 1} x^{3} + x^{2} - x - 1}$

Этап 1.2.7.3

Добавим $- 6$ и $6$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{3} + x^{2} - x - 1}$

Этап 1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{3} + lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}$

Этап 1.3.2

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} + lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}$

Этап 1.3.3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} + {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}$

Этап 1.3.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} + {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Этап 1.3.5

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{0}{1^{3} + {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Этап 1.3.5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{0}{1^{3} + 1^{2} - lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Этап 1.3.5.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{0}{1^{3} + 1^{2} - 1 - 1 \cdot 1}$

Этап 1.3.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{0}{1 + 1^{2} - 1 - 1 \cdot 1}$

Этап 1.3.6.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{0}{1 + 1 - 1 - 1 \cdot 1}$

Этап 1.3.6.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0}{1 + 1 - 1 - 1}$

Этап 1.3.6.2

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{0}{2 - 1 - 1}$

Этап 1.3.6.3

Вычтем $1$ из $2$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Этап 1.3.6.4

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.6.5

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.7

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 1} \frac{- x^{4} - 5 x^{2} + 6}{x^{3} + x^{2} - x - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [- x^{4} - 5 x^{2} + 6]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - x - 1]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [- x^{4} - 5 x^{2} + 6]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - x - 1]}$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $- x^{4} - 5 x^{2} + 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - x - 1]}$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{4}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - x - 1]}$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - x - 1]}$

Этап 3.3.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - x - 1]}$

Этап 3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x^{2}$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 4 x^{3} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - x - 1]}$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 4 x^{3} - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - x - 1]}$

Этап 3.4.3

Умножим $2$ на $- 5$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 4 x^{3} - 10 x + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - x - 1]}$

Этап 3.5

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 4 x^{3} - 10 x + 0}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - x - 1]}$

Этап 3.6

Добавим $- 4 x^{3} - 10 x$ и $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 4 x^{3} - 10 x}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - x - 1]}$

Этап 3.7

По правилу суммы производная $x^{3} + x^{2} - x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 4 x^{3} - 10 x}{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 4 x^{3} - 10 x}{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 4 x^{3} - 10 x}{3 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.10

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 4 x^{3} - 10 x}{3 x^{2} + 2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.10.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 4 x^{3} - 10 x}{3 x^{2} + 2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.10.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 4 x^{3} - 10 x}{3 x^{2} + 2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.11

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 4 x^{3} - 10 x}{3 x^{2} + 2 x - 1 + 0}$

Этап 3.12

Добавим $3 x^{2} + 2 x - 1$ и $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 4 x^{3} - 10 x}{3 x^{2} + 2 x - 1}$

Этап 4

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} - 4 x^{3} - 10 x}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} + 2 x - 1}$

Этап 5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{- lim_{x \to 1} 4 x^{3} - lim_{x \to 1} 10 x}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} + 2 x - 1}$

Этап 6

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{- 4 lim_{x \to 1} x^{3} - lim_{x \to 1} 10 x}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} + 2 x - 1}$

Этап 7

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{- 4 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - lim_{x \to 1} 10 x}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} + 2 x - 1}$

Этап 8

Вынесем член $10$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{- 4 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 10 lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} + 2 x - 1}$

Этап 9

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{- 4 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 10 lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} + lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 1}$

Этап 10

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{- 4 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 10 lim_{x \to 1} x}{3 lim_{x \to 1} x^{2} + lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 1}$

Этап 11

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{- 4 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 10 lim_{x \to 1} x}{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 1}$

Этап 12

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{- 4 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 10 lim_{x \to 1} x}{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}$

Этап 13

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{- 4 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 10 lim_{x \to 1} x}{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Этап 14

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{- 4 \cdot 1^{3} - 10 lim_{x \to 1} x}{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Этап 14.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{- 4 \cdot 1^{3} - 10 \cdot 1}{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Этап 14.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{- 4 \cdot 1^{3} - 10 \cdot 1}{3 \cdot 1^{2} + 2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Этап 14.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{- 4 \cdot 1^{3} - 10 \cdot 1}{3 \cdot 1^{2} + 2 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

Этап 15

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{- 4 \cdot 1 - 10 \cdot 1}{3 \cdot 1^{2} + 2 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

Этап 15.1.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$\frac{- 4 - 10 \cdot 1}{3 \cdot 1^{2} + 2 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

Этап 15.1.3

Умножим $- 10$ на $1$ .

$\frac{- 4 - 10}{3 \cdot 1^{2} + 2 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

Этап 15.1.4

Вычтем $10$ из $- 4$ .

$\frac{- 14}{3 \cdot 1^{2} + 2 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

Этап 15.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{- 14}{3 \cdot 1 + 2 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

Этап 15.2.2

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{- 14}{3 + 2 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

Этап 15.2.3

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{- 14}{3 + 2 - 1 \cdot 1}$

Этап 15.2.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{- 14}{3 + 2 - 1}$

Этап 15.2.5

Добавим $3$ и $2$ .

$\frac{- 14}{5 - 1}$

Этап 15.2.6

Вычтем $1$ из $5$ .

$\frac{- 14}{4}$

Этап 15.3

Сократим общий множитель $- 14$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 14$ .

$\frac{2 (- 7)}{4}$

Этап 15.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 \cdot - 7}{2 \cdot 2}$

Этап 15.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot - 7}{2 \cdot 2}$

Этап 15.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 7}{2}$

Этап 15.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{7}{2}$