Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x^{2} - 4 x + 3}{x^{2} + a x + b}$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $\frac{x^{2} - 4 x + 3}{x^{2} + a x + b} = f (x)$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 3}{x^{2} + a x + b} = f (x)$

Этап 2

Разложим $x^{2} - 4 x + 3$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $3$ , а сумма — $- 4$ .

$- 3, - 1$

Этап 2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(x - 3) (x - 1)}{x^{2} + a x + b} = f (x)$

Этап 3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x^{2} + a x + b, 1$

Этап 3.2

Избавимся от скобок.

$x^{2} + a x + b, 1$

Этап 3.3

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x^{2} + a x + b$

Этап 4

Каждый член в $\frac{(x - 3) (x - 1)}{x^{2} + a x + b} = f (x)$ умножим на $x^{2} + a x + b$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим каждый член $\frac{(x - 3) (x - 1)}{x^{2} + a x + b} = f (x)$ на $x^{2} + a x + b$ .

$\frac{(x - 3) (x - 1)}{x^{2} + a x + b} (x^{2} + a x + b) = f (x) (x^{2} + a x + b)$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $x^{2} + a x + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x - 3) (x - 1)}{x^{2} + a x + b} (x^{2} + a x + b) = f (x) (x^{2} + a x + b)$

Этап 4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$(x - 3) (x - 1) = f (x) (x^{2} + a x + b)$

Этап 4.2.2

Развернем $(x - 3) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x (x - 1) - 3 (x - 1) = f (x) (x^{2} + a x + b)$

Этап 4.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot - 1 - 3 (x - 1) = f (x) (x^{2} + a x + b)$

Этап 4.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot - 1 - 3 x - 3 \cdot - 1 = f (x) (x^{2} + a x + b)$

Этап 4.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 1 - 3 x - 3 \cdot - 1 = f (x) (x^{2} + a x + b)$

Этап 4.2.3.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$x^{2} - 1 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 1 = f (x) (x^{2} + a x + b)$

Этап 4.2.3.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$x^{2} - x - 3 x - 3 \cdot - 1 = f (x) (x^{2} + a x + b)$

Этап 4.2.3.1.4

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$x^{2} - x - 3 x + 3 = f (x) (x^{2} + a x + b)$

Этап 4.2.3.2

Вычтем $3 x$ из $- x$ .

$x^{2} - 4 x + 3 = f (x) (x^{2} + a x + b)$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} - 4 x + 3 = f (x) x^{2} + f (x) (a x) + f (x) b$

Этап 4.3.2

Изменим порядок множителей в $f (x) x^{2} + f (x) a x + f (x) b$ .

$x^{2} - 4 x + 3 = x^{2} f (x) + a x f (x) + b f (x)$

Этап 5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $x^{2} f (x) + a x f (x) + b f x = x^{2} - 4 x + 3$ .

$x^{2} f (x) + a x f (x) + b f x = x^{2} - 4 x + 3$

Этап 5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Перенесем $x$ .

$x \cdot x^{2} f + a x f (x) + b f x = x^{2} - 4 x + 3$

Этап 5.2.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{1} x^{2} f + a x f (x) + b f x = x^{2} - 4 x + 3$

Этап 5.2.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{1 + 2} f + a x f (x) + b f x = x^{2} - 4 x + 3$

Этап 5.2.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$x^{3} f + a x f (x) + b f x = x^{2} - 4 x + 3$

Этап 5.2.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Перенесем $x$ .

$x^{3} f + a (x \cdot x) f + b f x = x^{2} - 4 x + 3$

Этап 5.2.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{3} f + a x^{2} f + b f x = x^{2} - 4 x + 3$

Этап 5.3

Перенесем все члены без $b$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вычтем $x^{3} f$ из обеих частей уравнения.

$a x^{2} f + b f x = x^{2} - 4 x + 3 - x^{3} f$

Этап 5.3.2

Вычтем $a x^{2} f$ из обеих частей уравнения.

$b f x = x^{2} - 4 x + 3 - x^{3} f - a x^{2} f$

Этап 5.4

Разделим каждый член $b f x = x^{2} - 4 x + 3 - x^{3} f - a x^{2} f$ на $f x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Разделим каждый член $b f x = x^{2} - 4 x + 3 - x^{3} f - a x^{2} f$ на $f x$ .

$\frac{b f x}{f x} = \frac{x^{2}}{f x} + \frac{- 4 x}{f x} + \frac{3}{f x} + \frac{- x^{3} f}{f x} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $f$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{b f x}{f x} = \frac{x^{2}}{f x} + \frac{- 4 x}{f x} + \frac{3}{f x} + \frac{- x^{3} f}{f x} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

Этап 5.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{b x}{x} = \frac{x^{2}}{f x} + \frac{- 4 x}{f x} + \frac{3}{f x} + \frac{- x^{3} f}{f x} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

Этап 5.4.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{b x}{x} = \frac{x^{2}}{f x} + \frac{- 4 x}{f x} + \frac{3}{f x} + \frac{- x^{3} f}{f x} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

Этап 5.4.2.2.2

Разделим $b$ на $1$ .

$b = \frac{x^{2}}{f x} + \frac{- 4 x}{f x} + \frac{3}{f x} + \frac{- x^{3} f}{f x} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

Этап 5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$b = \frac{x \cdot x}{f x} + \frac{- 4 x}{f x} + \frac{3}{f x} + \frac{- x^{3} f}{f x} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

Этап 5.4.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $f x$ .

$b = \frac{x \cdot x}{x f} + \frac{- 4 x}{f x} + \frac{3}{f x} + \frac{- x^{3} f}{f x} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

Этап 5.4.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$b = \frac{x \cdot x}{x f} + \frac{- 4 x}{f x} + \frac{3}{f x} + \frac{- x^{3} f}{f x} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

Этап 5.4.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$b = \frac{x}{f} + \frac{- 4 x}{f x} + \frac{3}{f x} + \frac{- x^{3} f}{f x} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

Этап 5.4.3.1.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$b = \frac{x}{f} + \frac{- 4 x}{f x} + \frac{3}{f x} + \frac{- x^{3} f}{f x} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

Этап 5.4.3.1.2.2

Перепишем это выражение.

$b = \frac{x}{f} + \frac{- 4}{f} + \frac{3}{f x} + \frac{- x^{3} f}{f x} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

Этап 5.4.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$b = \frac{x}{f} - \frac{4}{f} + \frac{3}{f x} + \frac{- x^{3} f}{f x} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

Этап 5.4.3.1.4

Сократим общий множитель $x^{3}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.4.1

Вынесем множитель $x$ из $- x^{3} f$ .

$b = \frac{x}{f} - \frac{4}{f} + \frac{3}{f x} + \frac{x (- x^{2} f)}{f x} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

Этап 5.4.3.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.4.2.1

Вынесем множитель $x$ из $f x$ .

$b = \frac{x}{f} - \frac{4}{f} + \frac{3}{f x} + \frac{x (- x^{2} f)}{x f} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

Этап 5.4.3.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$b = \frac{x}{f} - \frac{4}{f} + \frac{3}{f x} + \frac{x (- x^{2} f)}{x f} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

Этап 5.4.3.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$b = \frac{x}{f} - \frac{4}{f} + \frac{3}{f x} + \frac{- x^{2} f}{f} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

Этап 5.4.3.1.5

Сократим общий множитель $f$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.5.1

Сократим общий множитель.

$b = \frac{x}{f} - \frac{4}{f} + \frac{3}{f x} + \frac{- x^{2} f}{f} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

Этап 5.4.3.1.5.2

Разделим $- x^{2}$ на $1$ .

$b = \frac{x}{f} - \frac{4}{f} + \frac{3}{f x} - x^{2} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

Этап 5.4.3.1.6

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.6.1

Вынесем множитель $x$ из $- a x^{2} f$ .

$b = \frac{x}{f} - \frac{4}{f} + \frac{3}{f x} - x^{2} + \frac{x (- a x f)}{f x}$

Этап 5.4.3.1.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.6.2.1

Вынесем множитель $x$ из $f x$ .

$b = \frac{x}{f} - \frac{4}{f} + \frac{3}{f x} - x^{2} + \frac{x (- a x f)}{x f}$

Этап 5.4.3.1.6.2.2

Сократим общий множитель.

$b = \frac{x}{f} - \frac{4}{f} + \frac{3}{f x} - x^{2} + \frac{x (- a x f)}{x f}$

Этап 5.4.3.1.6.2.3

Перепишем это выражение.

$b = \frac{x}{f} - \frac{4}{f} + \frac{3}{f x} - x^{2} + \frac{- a x f}{f}$

Этап 5.4.3.1.7

Сократим общий множитель $f$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.7.1

Сократим общий множитель.

$b = \frac{x}{f} - \frac{4}{f} + \frac{3}{f x} - x^{2} + \frac{- a x f}{f}$

Этап 5.4.3.1.7.2

Разделим $- a x$ на $1$ .

$b = \frac{x}{f} - \frac{4}{f} + \frac{3}{f x} - x^{2} - a x$