Математический анализ Примеры

$\frac{6 y^{2} + 13 y + 6}{20 - 5 y} \div \frac{4 y^{2} - 9}{y^{2} - 2 y - 8}$

Этап 1

Чтобы разделить на дробь, умножим на обратную к ней дробь.

$\frac{6 y^{2} + 13 y + 6}{20 - 5 y} \cdot \frac{y^{2} - 2 y - 8}{4 y^{2} - 9}$

Этап 2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 6 \cdot 6 = 36$ , а сумма — $b = 13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $13$ из $13 y$ .

$\frac{6 y^{2} + 13 (y) + 6}{20 - 5 y} \cdot \frac{y^{2} - 2 y - 8}{4 y^{2} - 9}$

Этап 2.1.2

Запишем $13$ как $4$ плюс $9$

$\frac{6 y^{2} + (4 + 9) y + 6}{20 - 5 y} \cdot \frac{y^{2} - 2 y - 8}{4 y^{2} - 9}$

Этап 2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{6 y^{2} + 4 y + 9 y + 6}{20 - 5 y} \cdot \frac{y^{2} - 2 y - 8}{4 y^{2} - 9}$

Этап 2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(6 y^{2} + 4 y) + 9 y + 6}{20 - 5 y} \cdot \frac{y^{2} - 2 y - 8}{4 y^{2} - 9}$

Этап 2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{2 y (3 y + 2) + 3 (3 y + 2)}{20 - 5 y} \cdot \frac{y^{2} - 2 y - 8}{4 y^{2} - 9}$

Этап 2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 y + 2$ .

$\frac{(3 y + 2) (2 y + 3)}{20 - 5 y} \cdot \frac{y^{2} - 2 y - 8}{4 y^{2} - 9}$

Этап 3

Вынесем множитель $5$ из $20 - 5 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $5$ из $20$ .

$\frac{(3 y + 2) (2 y + 3)}{5 (4) - 5 y} \cdot \frac{y^{2} - 2 y - 8}{4 y^{2} - 9}$

Этап 3.2

Вынесем множитель $5$ из $- 5 y$ .

$\frac{(3 y + 2) (2 y + 3)}{5 (4) + 5 (- y)} \cdot \frac{y^{2} - 2 y - 8}{4 y^{2} - 9}$

Этап 3.3

Вынесем множитель $5$ из $5 (4) + 5 (- y)$ .

$\frac{(3 y + 2) (2 y + 3)}{5 (4 - y)} \cdot \frac{y^{2} - 2 y - 8}{4 y^{2} - 9}$

Этап 4

Разложим $y^{2} - 2 y - 8$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 8$ , а сумма — $- 2$ .

$- 4, 2$

Этап 4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(3 y + 2) (2 y + 3)}{5 (4 - y)} \cdot \frac{(y - 4) (y + 2)}{4 y^{2} - 9}$

Этап 5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $4 y^{2}$ в виде ${(2 y)}^{2}$ .

$\frac{(3 y + 2) (2 y + 3)}{5 (4 - y)} \cdot \frac{(y - 4) (y + 2)}{{(2 y)}^{2} - 9}$

Этап 5.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{(3 y + 2) (2 y + 3)}{5 (4 - y)} \cdot \frac{(y - 4) (y + 2)}{{(2 y)}^{2} - 3^{2}}$

Этап 5.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 2 y$ и $b = 3$ .

$\frac{(3 y + 2) (2 y + 3)}{5 (4 - y)} \cdot \frac{(y - 4) (y + 2)}{(2 y + 3) (2 y - 3)}$

Этап 6

Сократим общий множитель $2 y + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $2 y + 3$ из $(3 y + 2) (2 y + 3)$ .

$\frac{(2 y + 3) (3 y + 2)}{5 (4 - y)} \cdot \frac{(y - 4) (y + 2)}{(2 y + 3) (2 y - 3)}$

Этап 6.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(2 y + 3) (3 y + 2)}{5 (4 - y)} \cdot \frac{(y - 4) (y + 2)}{(2 y + 3) (2 y - 3)}$

Этап 6.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3 y + 2}{5 (4 - y)} \cdot \frac{(y - 4) (y + 2)}{2 y - 3}$

Этап 7

Умножим $\frac{3 y + 2}{5 (4 - y)}$ на $\frac{(y - 4) (y + 2)}{2 y - 3}$ .

$\frac{(3 y + 2) ((y - 4) (y + 2))}{5 (4 - y) (2 y - 3)}$

Этап 8

Сократим общий множитель $y - 4$ и $4 - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем множитель $- 1$ из $y$ .

$\frac{(3 y + 2) ((- 1 (- y) - 4) (y + 2))}{5 (4 - y) (2 y - 3)}$

Этап 8.2

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$\frac{(3 y + 2) ((- 1 (- y) - 1 (4)) (y + 2))}{5 (4 - y) (2 y - 3)}$

Этап 8.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- y) - 1 (4)$ .

$\frac{(3 y + 2) (- 1 (- y + 4) (y + 2))}{5 (4 - y) (2 y - 3)}$

Этап 8.4

Изменим порядок членов.

$\frac{(3 y + 2) (- 1 (- y + 4) (y + 2))}{5 (- y + 4) (2 y - 3)}$

Этап 8.5

Сократим общий множитель.

$\frac{(3 y + 2) (- 1 (- y + 4) (y + 2))}{5 (- y + 4) (2 y - 3)}$

Этап 8.6

Перепишем это выражение.

$\frac{(3 y + 2) (- 1 (y + 2))}{5 (2 y - 3)}$

Этап 9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем.

$\frac{(3 y + 2) ((y - 4) (y + 2))}{5 (2 y - 3)}$

Этап 9.2

Вынесем множитель $- 1$ из $y$ .

$\frac{(3 y + 2) ((- 1 (- y) - 4) (y + 2))}{5 (2 y - 3)}$

Этап 9.3

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$\frac{(3 y + 2) ((- 1 (- y) - 1 (4)) (y + 2))}{5 (2 y - 3)}$

Этап 9.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- y) - 1 (4)$ .

$\frac{(3 y + 2) (- 1 (- y + 4) (y + 2))}{5 (2 y - 3)}$

Этап 9.5

Перепишем.

$\frac{(3 y + 2) ({(- 1)}^{- 1} (y + 2))}{5 (2 y - 3)}$

Этап 9.6

Возведем $- 1$ в степень $- 1$ .

$\frac{(3 y + 2) (- 1 (y + 2))}{5 (2 y - 3)}$

Этап 9.7

Избавимся от ненужных скобок.

$\frac{(3 y + 2) \cdot - 1 (y + 2)}{5 (2 y - 3)}$

Этап 9.8

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\frac{- (3 y + 2) (y + 2)}{5 (2 y - 3)}$

Этап 10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{(3 y + 2) (y + 2)}{5 (2 y - 3)}$