Математический анализ Примеры

$(1 - e^{z}) (z + e^{z})$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ имеет вид $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ , где $f (z) = 1 - e^{z}$ и $g (z) = z + e^{z}$ .

$(1 - e^{z}) \frac{d}{d z} [z + e^{z}] + (z + e^{z}) \frac{d}{d z} [1 - e^{z}]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $z + e^{z}$ по $z$ имеет вид $\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [e^{z}]$ .

$(1 - e^{z}) (\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [e^{z}]) + (z + e^{z}) \frac{d}{d z} [1 - e^{z}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ имеет вид $n z^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(1 - e^{z}) (1 + \frac{d}{d z} [e^{z}]) + (z + e^{z}) \frac{d}{d z} [1 - e^{z}]$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d z} [a^{z}]$ имеет вид $a^{z} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + (z + e^{z}) \frac{d}{d z} [1 - e^{z}]$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

По правилу суммы производная $1 - e^{z}$ по $z$ имеет вид $\frac{d}{d z} [1] + \frac{d}{d z} [- e^{z}]$ .

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + (z + e^{z}) (\frac{d}{d z} [1] + \frac{d}{d z} [- e^{z}])$

Этап 4.2

Поскольку $1$ является константой относительно $z$ , производная $1$ относительно $z$ равна $0$ .

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + (z + e^{z}) (0 + \frac{d}{d z} [- e^{z}])$

Этап 4.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d z} [- e^{z}]$ .

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + (z + e^{z}) \frac{d}{d z} [- e^{z}]$

Этап 4.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $z$ , производная $- e^{z}$ по $z$ равна $- \frac{d}{d z} [e^{z}]$ .

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + (z + e^{z}) (- \frac{d}{d z} [e^{z}])$

Этап 5

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + (z + e^{z}) (- e^{z})$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + z (- e^{z}) + e^{z} (- e^{z})$

Этап 6.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $e^{z}$ на $e^{z}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Перенесем $e^{z}$ .

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + z (- e^{z}) + e^{z} e^{z} \cdot - 1$

Этап 6.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + z (- e^{z}) + e^{z + z} \cdot - 1$

Этап 6.2.1.3

Добавим $z$ и $z$ .

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + z (- e^{z}) + e^{2 z} \cdot - 1$

Этап 6.2.2

Перенесем $- 1$ влево от $e^{2 z}$ .

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + z (- e^{z}) - 1 \cdot e^{2 z}$

Этап 6.2.3

Перепишем $- 1 e^{2 z}$ в виде $- e^{2 z}$ .

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + z (- e^{z}) - e^{2 z}$

Этап 6.3

Изменим порядок членов.

$(1 + e^{z}) (1 - e^{z}) - e^{z} z - e^{2 z}$

Этап 6.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Развернем $(1 + e^{z}) (1 - e^{z})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 (1 - e^{z}) + e^{z} (1 - e^{z}) - e^{z} z - e^{2 z}$

Этап 6.4.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 \cdot 1 + 1 (- e^{z}) + e^{z} (1 - e^{z}) - e^{z} z - e^{2 z}$

Этап 6.4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$1 \cdot 1 + 1 (- e^{z}) + e^{z} \cdot 1 + e^{z} (- e^{z}) - e^{z} z - e^{2 z}$

Этап 6.4.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$1 + 1 (- e^{z}) + e^{z} \cdot 1 + e^{z} (- e^{z}) - e^{z} z - e^{2 z}$

Этап 6.4.2.1.2

Умножим $- e^{z}$ на $1$ .

$1 - e^{z} + e^{z} \cdot 1 + e^{z} (- e^{z}) - e^{z} z - e^{2 z}$

Этап 6.4.2.1.3

Умножим $e^{z}$ на $1$ .

$1 - e^{z} + e^{z} + e^{z} (- e^{z}) - e^{z} z - e^{2 z}$

Этап 6.4.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 - e^{z} + e^{z} - e^{z} e^{z} - e^{z} z - e^{2 z}$

Этап 6.4.2.1.5

Умножим $e^{z}$ на $e^{z}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.5.1

Перенесем $e^{z}$ .

$1 - e^{z} + e^{z} - (e^{z} e^{z}) - e^{z} z - e^{2 z}$

Этап 6.4.2.1.5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$1 - e^{z} + e^{z} - e^{z + z} - e^{z} z - e^{2 z}$

Этап 6.4.2.1.5.3

Добавим $z$ и $z$ .

$1 - e^{z} + e^{z} - e^{2 z} - e^{z} z - e^{2 z}$

Этап 6.4.2.2

Добавим $- e^{z}$ и $e^{z}$ .

$1 + 0 - e^{2 z} - e^{z} z - e^{2 z}$

Этап 6.4.2.3

Добавим $1$ и $0$ .

$1 - e^{2 z} - e^{z} z - e^{2 z}$

Этап 6.5

Вычтем $e^{2 z}$ из $- e^{2 z}$ .

$1 - e^{z} z - 2 e^{2 z}$

Этап 6.6

Изменим порядок множителей в $1 - e^{z} z - 2 e^{2 z}$ .

$1 - z e^{z} - 2 e^{2 z}$