Математический анализ Примеры

$\int_{x^{4}}^{x^{5}} {(2 t - 1)}^{3} d t$

Этап 1

Воспользуемся бином Ньютона.

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{4}}^{x^{5}} {(2 t)}^{3} + 3 {(2 t)}^{2} \cdot - 1 + 3 (2 t) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} d t]$

Этап 2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим правило умножения к $2 t$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{4}}^{x^{5}} 2^{3} t^{3} + 3 {(2 t)}^{2} \cdot - 1 + 3 (2 t) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} d t]$

Этап 2.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{4}}^{x^{5}} 8 t^{3} + 3 {(2 t)}^{2} \cdot - 1 + 3 (2 t) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} d t]$

Этап 2.3

Применим правило умножения к $2 t$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{4}}^{x^{5}} 8 t^{3} + 3 (2^{2} t^{2}) \cdot - 1 + 3 (2 t) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} d t]$

Этап 2.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{4}}^{x^{5}} 8 t^{3} + 3 (4 t^{2}) \cdot - 1 + 3 (2 t) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} d t]$

Этап 2.5

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{4}}^{x^{5}} 8 t^{3} + 12 t^{2} \cdot - 1 + 3 (2 t) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} d t]$

Этап 2.6

Умножим $- 1$ на $12$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{4}}^{x^{5}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 3 (2 t) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} d t]$

Этап 2.7

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{4}}^{x^{5}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} d t]$

Этап 2.8

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{4}}^{x^{5}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t \cdot 1 + {(- 1)}^{3} d t]$

Этап 2.9

Умножим $6$ на $1$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{4}}^{x^{5}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t + {(- 1)}^{3} d t]$

Этап 2.10

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{4}}^{x^{5}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t]$

Этап 3

Разобьем интеграл на два интеграла, где $c$ — некоторое значение между $x^{4}$ и $x^{5}$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{4}}^{c} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t + \int_{c}^{x^{5}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t]$

Этап 4

По правилу суммы производная $\int_{x^{4}}^{c} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t + \int_{c}^{x^{5}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\int_{x^{4}}^{c} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{5}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t]$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{4}}^{c} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{5}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t]$

Этап 5

Заменим пределы интегрирования.

$\frac{d}{d x} [- \int_{c}^{x^{4}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{5}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t]$

Этап 6

Возьмем производную от $- \int_{c}^{x^{4}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t$ по $x$ , используя основную теорему математического анализа и цепное правило.

$\frac{d}{d x} [x^{4}] (- (8 {(x^{4})}^{3} - 12 {(x^{4})}^{2} + 6 x^{4} - 1)) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{5}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t]$

Этап 7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 x^{3} (- (8 {(x^{4})}^{3} - 12 {(x^{4})}^{2} + 6 x^{4} - 1)) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{5}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t]$

Этап 8

Возьмем производную от $\int_{c}^{x^{5}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t$ по $x$ , используя основную теорему математического анализа и цепное правило.

$4 x^{3} (- (8 {(x^{4})}^{3} - 12 {(x^{4})}^{2} + 6 x^{4} - 1)) + \frac{d}{d x} [x^{5}] (8 {(x^{5})}^{3} - 12 {(x^{5})}^{2} + 6 x^{5} - 1)$

Этап 9

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$4 x^{3} (- (8 {(x^{4})}^{3} - 12 {(x^{4})}^{2} + 6 x^{4} - 1)) + 5 x^{4} (8 {(x^{5})}^{3} - 12 {(x^{5})}^{2} + 6 x^{5} - 1)$

Этап 9.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{4})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{3} (- (8 x^{4 \cdot 3} - 12 {(x^{4})}^{2} + 6 x^{4} - 1)) + 5 x^{4} (8 {(x^{5})}^{3} - 12 {(x^{5})}^{2} + 6 x^{5} - 1)$

Этап 9.2.1.2

Умножим $4$ на $3$ .

$4 x^{3} (- (8 x^{12} - 12 {(x^{4})}^{2} + 6 x^{4} - 1)) + 5 x^{4} (8 {(x^{5})}^{3} - 12 {(x^{5})}^{2} + 6 x^{5} - 1)$

Этап 9.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{4})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{3} (- (8 x^{12} - 12 x^{4 \cdot 2} + 6 x^{4} - 1)) + 5 x^{4} (8 {(x^{5})}^{3} - 12 {(x^{5})}^{2} + 6 x^{5} - 1)$

Этап 9.2.2.2

Умножим $4$ на $2$ .

$4 x^{3} (- (8 x^{12} - 12 x^{8} + 6 x^{4} - 1)) + 5 x^{4} (8 {(x^{5})}^{3} - 12 {(x^{5})}^{2} + 6 x^{5} - 1)$

Этап 9.2.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$- 4 x^{3} (8 x^{12} - 12 x^{8} + 6 x^{4} - 1) + 5 x^{4} (8 {(x^{5})}^{3} - 12 {(x^{5})}^{2} + 6 x^{5} - 1)$

Этап 9.2.4

Перемножим экспоненты в ${(x^{5})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 x^{3} (8 x^{12} - 12 x^{8} + 6 x^{4} - 1) + 5 x^{4} (8 x^{5 \cdot 3} - 12 {(x^{5})}^{2} + 6 x^{5} - 1)$

Этап 9.2.4.2

Умножим $5$ на $3$ .

$- 4 x^{3} (8 x^{12} - 12 x^{8} + 6 x^{4} - 1) + 5 x^{4} (8 x^{15} - 12 {(x^{5})}^{2} + 6 x^{5} - 1)$

Этап 9.2.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{5})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 x^{3} (8 x^{12} - 12 x^{8} + 6 x^{4} - 1) + 5 x^{4} (8 x^{15} - 12 x^{5 \cdot 2} + 6 x^{5} - 1)$

Этап 9.2.5.2

Умножим $5$ на $2$ .

$- 4 x^{3} (8 x^{12} - 12 x^{8} + 6 x^{4} - 1) + 5 x^{4} (8 x^{15} - 12 x^{10} + 6 x^{5} - 1)$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 x^{3} (8 x^{12}) - 4 x^{3} (- 12 x^{8}) - 4 x^{3} (6 x^{4}) - 4 x^{3} \cdot - 1 + 5 x^{4} (8 x^{15} - 12 x^{10} + 6 x^{5} - 1)$

Этап 10.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 x^{3} (8 x^{12}) - 4 x^{3} (- 12 x^{8}) - 4 x^{3} (6 x^{4}) - 4 x^{3} \cdot - 1 + 5 x^{4} (8 x^{15}) + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

Этап 10.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Умножим $8$ на $- 4$ .

$- 32 x^{3} x^{12} - 4 x^{3} (- 12 x^{8}) - 4 x^{3} (6 x^{4}) - 4 x^{3} \cdot - 1 + 5 x^{4} (8 x^{15}) + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

Этап 10.3.2

Умножим $x^{3}$ на $x^{12}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1

Перенесем $x^{12}$ .

$- 32 (x^{12} x^{3}) - 4 x^{3} (- 12 x^{8}) - 4 x^{3} (6 x^{4}) - 4 x^{3} \cdot - 1 + 5 x^{4} (8 x^{15}) + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

Этап 10.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 32 x^{12 + 3} - 4 x^{3} (- 12 x^{8}) - 4 x^{3} (6 x^{4}) - 4 x^{3} \cdot - 1 + 5 x^{4} (8 x^{15}) + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

Этап 10.3.2.3

Добавим $12$ и $3$ .

$- 32 x^{15} - 4 x^{3} (- 12 x^{8}) - 4 x^{3} (6 x^{4}) - 4 x^{3} \cdot - 1 + 5 x^{4} (8 x^{15}) + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

Этап 10.3.3

Умножим $- 12$ на $- 4$ .

$- 32 x^{15} + 48 x^{3} x^{8} - 4 x^{3} (6 x^{4}) - 4 x^{3} \cdot - 1 + 5 x^{4} (8 x^{15}) + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

Этап 10.3.4

Умножим $x^{3}$ на $x^{8}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.4.1

Перенесем $x^{8}$ .

$- 32 x^{15} + 48 (x^{8} x^{3}) - 4 x^{3} (6 x^{4}) - 4 x^{3} \cdot - 1 + 5 x^{4} (8 x^{15}) + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

Этап 10.3.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 32 x^{15} + 48 x^{8 + 3} - 4 x^{3} (6 x^{4}) - 4 x^{3} \cdot - 1 + 5 x^{4} (8 x^{15}) + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

Этап 10.3.4.3

Добавим $8$ и $3$ .

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 4 x^{3} (6 x^{4}) - 4 x^{3} \cdot - 1 + 5 x^{4} (8 x^{15}) + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

Этап 10.3.5

Умножим $6$ на $- 4$ .

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 x^{3} x^{4} - 4 x^{3} \cdot - 1 + 5 x^{4} (8 x^{15}) + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

Этап 10.3.6

Умножим $x^{3}$ на $x^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.6.1

Перенесем $x^{4}$ .

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 (x^{4} x^{3}) - 4 x^{3} \cdot - 1 + 5 x^{4} (8 x^{15}) + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

Этап 10.3.6.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 x^{4 + 3} - 4 x^{3} \cdot - 1 + 5 x^{4} (8 x^{15}) + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

Этап 10.3.6.3

Добавим $4$ и $3$ .

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 x^{7} - 4 x^{3} \cdot - 1 + 5 x^{4} (8 x^{15}) + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

Этап 10.3.7

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 x^{7} + 4 x^{3} + 5 x^{4} (8 x^{15}) + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

Этап 10.3.8

Умножим $8$ на $5$ .

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 x^{7} + 4 x^{3} + 40 x^{4} x^{15} + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

Этап 10.3.9

Умножим $x^{4}$ на $x^{15}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.9.1

Перенесем $x^{15}$ .

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 x^{7} + 4 x^{3} + 40 (x^{15} x^{4}) + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

Этап 10.3.9.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 x^{7} + 4 x^{3} + 40 x^{15 + 4} + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

Этап 10.3.9.3

Добавим $15$ и $4$ .

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 x^{7} + 4 x^{3} + 40 x^{19} + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

Этап 10.3.10

Умножим $- 12$ на $5$ .

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 x^{7} + 4 x^{3} + 40 x^{19} - 60 x^{4} x^{10} + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

Этап 10.3.11

Умножим $x^{4}$ на $x^{10}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.11.1

Перенесем $x^{10}$ .

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 x^{7} + 4 x^{3} + 40 x^{19} - 60 (x^{10} x^{4}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

Этап 10.3.11.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 x^{7} + 4 x^{3} + 40 x^{19} - 60 x^{10 + 4} + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

Этап 10.3.11.3

Добавим $10$ и $4$ .

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 x^{7} + 4 x^{3} + 40 x^{19} - 60 x^{14} + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

Этап 10.3.12

Умножим $6$ на $5$ .

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 x^{7} + 4 x^{3} + 40 x^{19} - 60 x^{14} + 30 x^{4} x^{5} + 5 x^{4} \cdot - 1$

Этап 10.3.13

Умножим $x^{4}$ на $x^{5}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.13.1

Перенесем $x^{5}$ .

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 x^{7} + 4 x^{3} + 40 x^{19} - 60 x^{14} + 30 (x^{5} x^{4}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

Этап 10.3.13.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 x^{7} + 4 x^{3} + 40 x^{19} - 60 x^{14} + 30 x^{5 + 4} + 5 x^{4} \cdot - 1$

Этап 10.3.13.3

Добавим $5$ и $4$ .

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 x^{7} + 4 x^{3} + 40 x^{19} - 60 x^{14} + 30 x^{9} + 5 x^{4} \cdot - 1$

Этап 10.3.14

Умножим $- 1$ на $5$ .

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 x^{7} + 4 x^{3} + 40 x^{19} - 60 x^{14} + 30 x^{9} - 5 x^{4}$

Этап 10.4

Изменим порядок членов.

$40 x^{19} - 32 x^{15} - 60 x^{14} + 48 x^{11} + 30 x^{9} - 24 x^{7} - 5 x^{4} + 4 x^{3}$