Математический анализ Примеры

$y = {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{17}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{17})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{17}$ и $g (x) = \frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{17}] \frac{d}{d x} [\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}}]$

Этап 3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 17$ .

$17 u^{16} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}}]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}}$ .

$17 {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{16} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 1 + x^{2}$ и $g (x) = 1 - x^{2}$ .

$17 {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{16} \frac{(1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}] - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

По правилу суммы производная $1 + x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$17 {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{16} \frac{(1 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$17 {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{16} \frac{(1 - x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$17 {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{16} \frac{(1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$17 {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{16} \frac{(1 - x^{2}) (2 x) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.5

Перенесем $2$ влево от $1 - x^{2}$ .

$17 {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{16} \frac{2 \cdot (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.6

По правилу суммы производная $1 - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$17 {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{16} \frac{2 (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.7

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$17 {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{16} \frac{2 (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.8

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$17 {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{16} \frac{2 (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.9

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$17 {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{16} \frac{2 (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.10

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.10.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$17 {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{16} \frac{2 (1 - x^{2}) x + 1 (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.10.2

Умножим $1 + x^{2}$ на $1$ .

$17 {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{16} \frac{2 (1 - x^{2}) x + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$17 {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{16} \frac{2 (1 - x^{2}) x + (1 + x^{2}) (2 x)}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.12

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.12.1

Перенесем $2$ влево от $1 + x^{2}$ .

$17 {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{16} \frac{2 (1 - x^{2}) x + 2 \cdot (1 + x^{2}) x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.12.2

Объединим $\frac{2 (1 - x^{2}) x + 2 (1 + x^{2}) x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$ и $17$ .

$\frac{(2 (1 - x^{2}) x + 2 (1 + x^{2}) x) \cdot 17}{{(1 - x^{2})}^{2}} {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{16}$

Этап 3.3.12.3

Перенесем $17$ влево от $2 (1 - x^{2}) x + 2 (1 + x^{2}) x$ .

$\frac{17 \cdot (2 (1 - x^{2}) x + 2 (1 + x^{2}) x)}{{(1 - x^{2})}^{2}} {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{16}$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Применим правило умножения к $\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}}$ .

$\frac{17 (2 (1 - x^{2}) x + 2 (1 + x^{2}) x)}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

Этап 3.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{17 ((2 \cdot 1 + 2 (- x^{2})) x + 2 (1 + x^{2}) x)}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

Этап 3.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{17 (2 \cdot 1 x + 2 (- x^{2}) x + 2 (1 + x^{2}) x)}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

Этап 3.4.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{17 (2 \cdot 1 x + 2 (- x^{2}) x + (2 \cdot 1 + 2 x^{2}) x)}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

Этап 3.4.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{17 (2 \cdot 1 x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 1 x + 2 x^{2} x)}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

Этап 3.4.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{17 (2 \cdot 1 x) + 17 (2 (- x^{2}) x) + 17 (2 \cdot 1 x) + 17 (2 x^{2} x)}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

Этап 3.4.7

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.7.1

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{17 (2 x) + 17 (2 (- x^{2}) x) + 17 (2 \cdot 1 x) + 17 (2 x^{2} x)}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

Этап 3.4.7.2

Умножим $2$ на $17$ .

$\frac{34 x + 17 (2 (- x^{2}) x) + 17 (2 \cdot 1 x) + 17 (2 x^{2} x)}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

Этап 3.4.7.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{34 x + 17 (- 2 x^{2} x) + 17 (2 \cdot 1 x) + 17 (2 x^{2} x)}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

Этап 3.4.7.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{34 x + 17 (- 2 (x^{1} x^{2})) + 17 (2 \cdot 1 x) + 17 (2 x^{2} x)}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

Этап 3.4.7.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{34 x + 17 (- 2 x^{1 + 2}) + 17 (2 \cdot 1 x) + 17 (2 x^{2} x)}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

Этап 3.4.7.6

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{34 x + 17 (- 2 x^{3}) + 17 (2 \cdot 1 x) + 17 (2 x^{2} x)}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

Этап 3.4.7.7

Умножим $- 2$ на $17$ .

$\frac{34 x - 34 x^{3} + 17 (2 \cdot 1 x) + 17 (2 x^{2} x)}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

Этап 3.4.7.8

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{34 x - 34 x^{3} + 17 (2 x) + 17 (2 x^{2} x)}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

Этап 3.4.7.9

Умножим $2$ на $17$ .

$\frac{34 x - 34 x^{3} + 34 x + 17 (2 x^{2} x)}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

Этап 3.4.7.10

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{34 x - 34 x^{3} + 34 x + 17 (2 (x^{1} x^{2}))}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

Этап 3.4.7.11

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{34 x - 34 x^{3} + 34 x + 17 (2 x^{1 + 2})}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

Этап 3.4.7.12

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{34 x - 34 x^{3} + 34 x + 17 (2 x^{3})}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

Этап 3.4.7.13

Умножим $2$ на $17$ .

$\frac{34 x - 34 x^{3} + 34 x + 34 x^{3}}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

Этап 3.4.7.14

Добавим $34 x$ и $34 x$ .

$\frac{- 34 x^{3} + 68 x + 34 x^{3}}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

Этап 3.4.7.15

Добавим $- 34 x^{3}$ и $34 x^{3}$ .

$\frac{68 x + 0}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

Этап 3.4.7.16

Добавим $68 x$ и $0$ .

$\frac{68 x}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

Этап 3.4.7.17

Умножим $\frac{68 x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$ на $\frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$ .

$\frac{68 x {(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{2} {(1 - x^{2})}^{16}}$

Этап 3.4.7.18

Умножим ${(1 - x^{2})}^{2}$ на ${(1 - x^{2})}^{16}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.7.18.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{68 x {(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{2 + 16}}$

Этап 3.4.7.18.2

Добавим $2$ и $16$ .

$\frac{68 x {(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{18}}$

Этап 3.4.8

Изменим порядок членов.

$\frac{68 x {(1 + x^{2})}^{16}}{{(- x^{2} + 1)}^{18}}$

Этап 3.4.9

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.9.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{68 x {(1 + x^{2})}^{16}}{{(- x^{2} + 1^{2})}^{18}}$

Этап 3.4.9.2

Изменим порядок $- x^{2}$ и $1^{2}$ .

$\frac{68 x {(1 + x^{2})}^{16}}{{(1^{2} - x^{2})}^{18}}$

Этап 3.4.9.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = x$ .

$\frac{68 x {(1 + x^{2})}^{16}}{{((1 + x) (1 - x))}^{18}}$

Этап 3.4.9.4

Применим правило умножения к $(1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{68 x {(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 + x)}^{18} {(1 - x)}^{18}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \frac{68 x {(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 + x)}^{18} {(1 - x)}^{18}}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{68 x {(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 + x)}^{18} {(1 - x)}^{18}}$