Математический анализ Примеры

$x \sqrt{y} = 1$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y}$ в виде $y^{\frac{1}{2}}$ .

$x y^{\frac{1}{2}} = 1$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x y^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (1)$

Этап 3

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}] + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$x (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$x (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$x (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$x (\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x (\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.8

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.9

Перенесем $y^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.10

Объединим $\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$\frac{x}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y] + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.11

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{x}{2 y^{\frac{1}{2}}} y' + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.12

Объединим $\frac{x}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ и $y'$ .

$\frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + y^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Этап 3.14

Умножим $y^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$\frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + y^{\frac{1}{2}}$

Этап 4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$\frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + y^{\frac{1}{2}} = 0$

Этап 6

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем общий множитель $y^{\frac{1}{2}}$ , который присутствует в каждом члене.

$\frac{1}{2 {(x {y'}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + y^{\frac{1}{2}}$

Этап 6.2

Подставим $u$ вместо $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 {(x {y'}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + u = 0$

Этап 6.3

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Применим правило умножения к $x {y'}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 x^{2} {({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + u = 0$

Этап 6.3.1.2

Перемножим экспоненты в ${({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2 x^{2} {y'}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + u = 0$

Этап 6.3.1.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2 x^{2} {y'}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + u = 0$

Этап 6.3.1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2 x^{2} {y'}^{1}} + u = 0$

Этап 6.3.1.3

Упростим.

$\frac{1}{2 x^{2} y'} + u = 0$

Этап 6.3.2

Вычтем $\frac{1}{2 x^{2} y'}$ из обеих частей уравнения.

$u = - \frac{1}{2 x^{2} y'}$

Этап 6.4

Подставим $y'$ вместо $u$ .

$y^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x^{2} y'}$

Этап 6.5

Вычтем $y^{\frac{1}{2}}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} = - y^{\frac{1}{2}}$

Этап 6.6

Умножим обе части на $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}}) = - y^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1.1

Упростим $\frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - y^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.7.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - y^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.7.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - y^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.7.1.1.3

Сократим общий множитель $y^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - y^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.7.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$x y' = - y^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.7.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.2.1

Упростим $- y^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x y' = - 1 \cdot 2 y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}$

Этап 6.7.2.1.2

Умножим $y^{\frac{1}{2}}$ на $y^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.2.1.2.1

Перенесем $y^{\frac{1}{2}}$ .

$x y' = - 1 \cdot 2 (y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.7.2.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x y' = - 1 \cdot 2 y^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}$

Этап 6.7.2.1.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$x y' = - 1 \cdot 2 y^{\frac{1 + 1}{2}}$

Этап 6.7.2.1.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$x y' = - 1 \cdot 2 y^{\frac{2}{2}}$

Этап 6.7.2.1.2.5

Разделим $2$ на $2$ .

$x y' = - 1 \cdot 2 y^{1}$

Этап 6.7.2.1.3

Упростим $- 1 \cdot 2 y^{1}$ .

$x y' = - 1 \cdot 2 y$

Этап 6.7.2.1.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$x y' = - 2 y$

Этап 6.8

Разделим каждый член $x y' = - 2 y$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.1

Разделим каждый член $x y' = - 2 y$ на $x$ .

$\frac{x y'}{x} = \frac{- 2 y}{x}$

Этап 6.8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y'}{x} = \frac{- 2 y}{x}$

Этап 6.8.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 2 y}{x}$

Этап 6.8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{2 y}{x}$

Этап 7

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y}{x}$