Математический анализ Примеры

${(2 + 3 x)}^{4} = x y^{2}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} ({(2 + 3 x)}^{4}) = \frac{d}{d x} (x y^{2})$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{4}$ и $g (x) = 2 + 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 + 3 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [2 + 3 x]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [2 + 3 x]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 + 3 x$ .

$4 {(2 + 3 x)}^{3} \frac{d}{d x} [2 + 3 x]$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $2 + 3 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$4 {(2 + 3 x)}^{3} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [3 x])$

Этап 2.2.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 {(2 + 3 x)}^{3} (0 + \frac{d}{d x} [3 x])$

Этап 2.2.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

$4 {(2 + 3 x)}^{3} \frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 2.2.4

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 {(2 + 3 x)}^{3} (3 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.2.5

Умножим $3$ на $4$ .

$12 {(2 + 3 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$12 {(2 + 3 x)}^{3} \cdot 1$

Этап 2.2.7

Умножим $12$ на $1$ .

$12 {(2 + 3 x)}^{3}$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y^{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$2 \cdot x y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.4

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 x y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x y y' + y^{2} \cdot 1$

Этап 3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$2 x y y' + y^{2}$

Этап 3.6.2

Изменим порядок членов.

$y^{2} + 2 x y y'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$12 {(2 + 3 x)}^{3} = y^{2} + 2 x y y'$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $y^{2} + 2 x y y' = 12 {(2 + 3 x)}^{3}$ .

$y^{2} + 2 x y y' = 12 {(2 + 3 x)}^{3}$

Этап 5.2

Упростим $12 {(2 + 3 x)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Перепишем.

$y^{2} + 2 x y y' = 0 + 0 + 12 {(2 + 3 x)}^{3}$

Этап 5.2.2

Упростим путем добавления нулей.

$y^{2} + 2 x y y' = 12 {(2 + 3 x)}^{3}$

Этап 5.2.3

Воспользуемся бином Ньютона.

$y^{2} + 2 x y y' = 12 (2^{3} + 3 \cdot 2^{2} (3 x) + 3 \cdot 2 {(3 x)}^{2} + {(3 x)}^{3})$

Этап 5.2.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$y^{2} + 2 x y y' = 12 (8 + 3 \cdot 2^{2} (3 x) + 3 \cdot 2 {(3 x)}^{2} + {(3 x)}^{3})$

Этап 5.2.4.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y^{2} + 2 x y y' = 12 (8 + 3 \cdot 4 (3 x) + 3 \cdot 2 {(3 x)}^{2} + {(3 x)}^{3})$

Этап 5.2.4.1.3

Умножим $3$ на $4$ .

$y^{2} + 2 x y y' = 12 (8 + 12 (3 x) + 3 \cdot 2 {(3 x)}^{2} + {(3 x)}^{3})$

Этап 5.2.4.1.4

Умножим $3$ на $12$ .

$y^{2} + 2 x y y' = 12 (8 + 36 x + 3 \cdot 2 {(3 x)}^{2} + {(3 x)}^{3})$

Этап 5.2.4.1.5

Умножим $3$ на $2$ .

$y^{2} + 2 x y y' = 12 (8 + 36 x + 6 {(3 x)}^{2} + {(3 x)}^{3})$

Этап 5.2.4.1.6

Применим правило умножения к $3 x$ .

$y^{2} + 2 x y y' = 12 (8 + 36 x + 6 (3^{2} x^{2}) + {(3 x)}^{3})$

Этап 5.2.4.1.7

Возведем $3$ в степень $2$ .

$y^{2} + 2 x y y' = 12 (8 + 36 x + 6 (9 x^{2}) + {(3 x)}^{3})$

Этап 5.2.4.1.8

Умножим $9$ на $6$ .

$y^{2} + 2 x y y' = 12 (8 + 36 x + 54 x^{2} + {(3 x)}^{3})$

Этап 5.2.4.1.9

Применим правило умножения к $3 x$ .

$y^{2} + 2 x y y' = 12 (8 + 36 x + 54 x^{2} + 3^{3} x^{3})$

Этап 5.2.4.1.10

Возведем $3$ в степень $3$ .

$y^{2} + 2 x y y' = 12 (8 + 36 x + 54 x^{2} + 27 x^{3})$

Этап 5.2.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} + 2 x y y' = 12 \cdot 8 + 12 (36 x) + 12 (54 x^{2}) + 12 (27 x^{3})$

Этап 5.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Умножим $12$ на $8$ .

$y^{2} + 2 x y y' = 96 + 12 (36 x) + 12 (54 x^{2}) + 12 (27 x^{3})$

Этап 5.2.5.2

Умножим $36$ на $12$ .

$y^{2} + 2 x y y' = 96 + 432 x + 12 (54 x^{2}) + 12 (27 x^{3})$

Этап 5.2.5.3

Умножим $54$ на $12$ .

$y^{2} + 2 x y y' = 96 + 432 x + 648 x^{2} + 12 (27 x^{3})$

Этап 5.2.5.4

Умножим $27$ на $12$ .

$y^{2} + 2 x y y' = 96 + 432 x + 648 x^{2} + 324 x^{3}$

Этап 5.3

Вычтем $y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$2 x y y' = 96 + 432 x + 648 x^{2} + 324 x^{3} - y^{2}$

Этап 5.4

Разделим каждый член $2 x y y' = 96 + 432 x + 648 x^{2} + 324 x^{3} - y^{2}$ на $2 x y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Разделим каждый член $2 x y y' = 96 + 432 x + 648 x^{2} + 324 x^{3} - y^{2}$ на $2 x y$ .

$\frac{2 x y y'}{2 x y} = \frac{96}{2 x y} + \frac{432 x}{2 x y} + \frac{648 x^{2}}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x y y'}{2 x y} = \frac{96}{2 x y} + \frac{432 x}{2 x y} + \frac{648 x^{2}}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Этап 5.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x y y'}{x y} = \frac{96}{2 x y} + \frac{432 x}{2 x y} + \frac{648 x^{2}}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Этап 5.4.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y y'}{x y} = \frac{96}{2 x y} + \frac{432 x}{2 x y} + \frac{648 x^{2}}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Этап 5.4.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y y'}{y} = \frac{96}{2 x y} + \frac{432 x}{2 x y} + \frac{648 x^{2}}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Этап 5.4.2.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y y'}{y} = \frac{96}{2 x y} + \frac{432 x}{2 x y} + \frac{648 x^{2}}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Этап 5.4.2.3.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{96}{2 x y} + \frac{432 x}{2 x y} + \frac{648 x^{2}}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Этап 5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.1

Сократим общий множитель $96$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $96$ .

$y' = \frac{2 \cdot 48}{2 x y} + \frac{432 x}{2 x y} + \frac{648 x^{2}}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Этап 5.4.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x y$ .

$y' = \frac{2 \cdot 48}{2 (x y)} + \frac{432 x}{2 x y} + \frac{648 x^{2}}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Этап 5.4.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{2 \cdot 48}{2 (x y)} + \frac{432 x}{2 x y} + \frac{648 x^{2}}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Этап 5.4.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{432 x}{2 x y} + \frac{648 x^{2}}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Этап 5.4.3.1.2

Сократим общий множитель $432$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $432 x$ .

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{2 (216 x)}{2 x y} + \frac{648 x^{2}}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Этап 5.4.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x y$ .

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{2 (216 x)}{2 (x y)} + \frac{648 x^{2}}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Этап 5.4.3.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{2 (216 x)}{2 (x y)} + \frac{648 x^{2}}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Этап 5.4.3.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216 x}{x y} + \frac{648 x^{2}}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Этап 5.4.3.1.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.3.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216 x}{x y} + \frac{648 x^{2}}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Этап 5.4.3.1.3.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{648 x^{2}}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Этап 5.4.3.1.4

Сократим общий множитель $648$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $648 x^{2}$ .

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{2 (324 x^{2})}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Этап 5.4.3.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x y$ .

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{2 (324 x^{2})}{2 (x y)} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Этап 5.4.3.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{2 (324 x^{2})}{2 (x y)} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Этап 5.4.3.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{324 x^{2}}{x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Этап 5.4.3.1.5

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.5.1

Вынесем множитель $x$ из $324 x^{2}$ .

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{x (324 x)}{x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Этап 5.4.3.1.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.5.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x y$ .

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{x (324 x)}{x (y)} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Этап 5.4.3.1.5.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{x (324 x)}{x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Этап 5.4.3.1.5.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{324 x}{y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Этап 5.4.3.1.6

Сократим общий множитель $324$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.6.1

Вынесем множитель $2$ из $324 x^{3}$ .

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{324 x}{y} + \frac{2 (162 x^{3})}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Этап 5.4.3.1.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x y$ .

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{324 x}{y} + \frac{2 (162 x^{3})}{2 (x y)} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Этап 5.4.3.1.6.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{324 x}{y} + \frac{2 (162 x^{3})}{2 (x y)} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Этап 5.4.3.1.6.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{324 x}{y} + \frac{162 x^{3}}{x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Этап 5.4.3.1.7

Сократим общий множитель $x^{3}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.7.1

Вынесем множитель $x$ из $162 x^{3}$ .

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{324 x}{y} + \frac{x (162 x^{2})}{x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Этап 5.4.3.1.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.7.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x y$ .

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{324 x}{y} + \frac{x (162 x^{2})}{x (y)} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Этап 5.4.3.1.7.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{324 x}{y} + \frac{x (162 x^{2})}{x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Этап 5.4.3.1.7.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{324 x}{y} + \frac{162 x^{2}}{y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Этап 5.4.3.1.8

Сократим общий множитель $y^{2}$ и $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.8.1

Вынесем множитель $y$ из $- y^{2}$ .

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{324 x}{y} + \frac{162 x^{2}}{y} + \frac{y (- y)}{2 x y}$

Этап 5.4.3.1.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.8.2.1

Вынесем множитель $y$ из $2 x y$ .

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{324 x}{y} + \frac{162 x^{2}}{y} + \frac{y (- y)}{y (2 x)}$

Этап 5.4.3.1.8.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{324 x}{y} + \frac{162 x^{2}}{y} + \frac{y (- y)}{y (2 x)}$

Этап 5.4.3.1.8.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{324 x}{y} + \frac{162 x^{2}}{y} + \frac{- y}{2 x}$

Этап 5.4.3.1.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{324 x}{y} + \frac{162 x^{2}}{y} - \frac{y}{2 x}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{324 x}{y} + \frac{162 x^{2}}{y} - \frac{y}{2 x}$