Математический анализ Примеры

$2 \sqrt{x} - 3 \sqrt{y} = 3$

Этап 1

Запишем левую часть в виде рациональных экспонент.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} - 3 \sqrt{y} = 3$

Этап 1.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y}$ в виде $y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} - 3 y^{\frac{1}{2}} = 3$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (2 x^{\frac{1}{2}} - 3 y^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (3)$

Этап 3

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $2 x^{\frac{1}{2}} - 3 y^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 3 y^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 3 y^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 3 y^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 3 y^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 3 y^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.2.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 3 y^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 3 y^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.2.8

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 3 y^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.2.9

Объединим $2$ и $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 3 y^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.2.10

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 3 y^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.2.11

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 3 y^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.2.12

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 3 y^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 y^{\frac{1}{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 y^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 3 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 3 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 3 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 3 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} y')$

Этап 3.3.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 3 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} y')$

Этап 3.3.5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 3 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} y')$

Этап 3.3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 3 (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} y')$

Этап 3.3.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 3 (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} y')$

Этап 3.3.7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 3 (\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} y')$

Этап 3.3.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 3 (\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} y')$

Этап 3.3.9

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 3 (\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} y')$

Этап 3.3.10

Объединим $\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$ и $y'$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{y^{- \frac{1}{2}} y'}{2}$

Этап 3.3.11

Перенесем $y^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.3.12

Объединим $- 3$ и $\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 3 y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.3.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 6

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вычтем $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{3 y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.2

Разделим каждый член $- \frac{3 y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Разделим каждый член $- \frac{3 y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ на $- 1$ .

$\frac{- \frac{3 y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{- 1} = \frac{- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{- 1}$

Этап 6.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\frac{3 y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{1} = \frac{- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{- 1}$

Этап 6.2.2.2

Разделим $\frac{3 y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ на $1$ .

$\frac{3 y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} = \frac{- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{- 1}$

Этап 6.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{3 y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} = \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Этап 6.2.3.2

Разделим $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ на $1$ .

$\frac{3 y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.3

Умножим обе части на $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.1

Упростим $\frac{3 y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \frac{3 y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.4.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{3 y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.4.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3 y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.4.1.1.3

Сократим общий множитель $y^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.4.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$3 y' = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Упростим $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 y' = 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

Этап 6.4.2.1.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$3 y' = \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

Этап 6.4.2.1.3

Объединим $\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ и $y^{\frac{1}{2}}$ .

$3 y' = \frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.5

Разделим каждый член $3 y' = \frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Разделим каждый член $3 y' = \frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ на $3$ .

$\frac{3 y'}{3} = \frac{\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}}{3}$

Этап 6.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y'}{3} = \frac{\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}}{3}$

Этап 6.5.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}}{3}$

Этап 6.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y' = \frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 6.5.3.2

Объединим.

$y' = \frac{2 y^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 3}$

Этап 6.5.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.3.3.1

Умножим $2$ на $1$ .

$y' = \frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 3}$

Этап 6.5.3.3.2

Перенесем $3$ влево от $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{3 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 7

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{3 x^{\frac{1}{2}}}$