Математический анализ Примеры

$\sum_{n = 1}^{4} {(\frac{1}{2})}^{n + 1}$

Этап 1

Развернем ряд для каждого значения $n$ .

${(\frac{1}{2})}^{1 + 1} + {(\frac{1}{2})}^{2 + 1} + {(\frac{1}{2})}^{3 + 1} + {(\frac{1}{2})}^{4 + 1}$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Добавим $1$ и $1$ .

${(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2 + 1} + {(\frac{1}{2})}^{3 + 1} + {(\frac{1}{2})}^{4 + 1}$

Этап 2.1.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2 + 1} + {(\frac{1}{2})}^{3 + 1} + {(\frac{1}{2})}^{4 + 1}$

Этап 2.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2 + 1} + {(\frac{1}{2})}^{3 + 1} + {(\frac{1}{2})}^{4 + 1}$

Этап 2.1.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{1}{4} + {(\frac{1}{2})}^{2 + 1} + {(\frac{1}{2})}^{3 + 1} + {(\frac{1}{2})}^{4 + 1}$

Этап 2.1.5

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{1}{4} + {(\frac{1}{2})}^{3} + {(\frac{1}{2})}^{3 + 1} + {(\frac{1}{2})}^{4 + 1}$

Этап 2.1.6

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} + \frac{1^{3}}{2^{3}} + {(\frac{1}{2})}^{3 + 1} + {(\frac{1}{2})}^{4 + 1}$

Этап 2.1.7

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{4} + \frac{1}{2^{3}} + {(\frac{1}{2})}^{3 + 1} + {(\frac{1}{2})}^{4 + 1}$

Этап 2.1.8

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{1}{4} + \frac{1}{8} + {(\frac{1}{2})}^{3 + 1} + {(\frac{1}{2})}^{4 + 1}$

Этап 2.1.9

Добавим $3$ и $1$ .

$\frac{1}{4} + \frac{1}{8} + {(\frac{1}{2})}^{4} + {(\frac{1}{2})}^{4 + 1}$

Этап 2.1.10

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1^{4}}{2^{4}} + {(\frac{1}{2})}^{4 + 1}$

Этап 2.1.11

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{2^{4}} + {(\frac{1}{2})}^{4 + 1}$

Этап 2.1.12

Возведем $2$ в степень $4$ .

$\frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + {(\frac{1}{2})}^{4 + 1}$

Этап 2.1.13

Добавим $4$ и $1$ .

$\frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + {(\frac{1}{2})}^{5}$

Этап 2.1.14

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1^{5}}{2^{5}}$

Этап 2.1.15

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{2^{5}}$

Этап 2.1.16

Возведем $2$ в степень $5$ .

$\frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32}$

Этап 2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{8}{8}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{8}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32}$

Этап 2.2.2

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{8}{8}$ .

$\frac{8}{4 \cdot 8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32}$

Этап 2.2.3

Умножим $\frac{1}{8}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{8}{4 \cdot 8} + \frac{1}{8} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32}$

Этап 2.2.4

Умножим $\frac{1}{8}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{8}{4 \cdot 8} + \frac{4}{8 \cdot 4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32}$

Этап 2.2.5

Умножим $\frac{1}{16}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{8}{4 \cdot 8} + \frac{4}{8 \cdot 4} + \frac{1}{16} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{32}$

Этап 2.2.6

Умножим $\frac{1}{16}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{8}{4 \cdot 8} + \frac{4}{8 \cdot 4} + \frac{2}{16 \cdot 2} + \frac{1}{32}$

Этап 2.2.7

Умножим $4$ на $8$ .

$\frac{8}{32} + \frac{4}{8 \cdot 4} + \frac{2}{16 \cdot 2} + \frac{1}{32}$

Этап 2.2.8

Изменим порядок множителей в $8 \cdot 4$ .

$\frac{8}{32} + \frac{4}{4 \cdot 8} + \frac{2}{16 \cdot 2} + \frac{1}{32}$

Этап 2.2.9

Умножим $4$ на $8$ .

$\frac{8}{32} + \frac{4}{32} + \frac{2}{16 \cdot 2} + \frac{1}{32}$

Этап 2.2.10

Изменим порядок множителей в $16 \cdot 2$ .

$\frac{8}{32} + \frac{4}{32} + \frac{2}{2 \cdot 16} + \frac{1}{32}$

Этап 2.2.11

Умножим $2$ на $16$ .

$\frac{8}{32} + \frac{4}{32} + \frac{2}{32} + \frac{1}{32}$

Этап 2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{8 + 4 + 2 + 1}{32}$

Этап 2.4

Добавим $8$ и $4$ .

$\frac{12 + 2 + 1}{32}$

Этап 2.5

Добавим $12$ и $2$ .

$\frac{14 + 1}{32}$

Этап 2.6

Добавим $14$ и $1$ .

$\frac{15}{32}$

Этап 3

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{15}{32}$

Десятичная форма:

$0.46875$