Математический анализ Примеры

$\sum_{n = 1}^{4} \frac{2}{3} {(- \frac{1}{5})}^{n - 1}$

Этап 1

Развернем ряд для каждого значения $n$ .

$\frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{1 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{2 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{3 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{0} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{2 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{3 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Этап 2.1.2

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{5}$ .

$\frac{2}{3} \cdot ({(- 1)}^{0} {(\frac{1}{5})}^{0}) + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{2 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{3 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Этап 2.1.2.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{5}$ .

$\frac{2}{3} \cdot ({(- 1)}^{0} \frac{1^{0}}{5^{0}}) + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{2 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{3 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Этап 2.1.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{2}{3} \cdot (1 \frac{1^{0}}{5^{0}}) + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{2 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{3 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Этап 2.1.4

Умножим $\frac{1^{0}}{5^{0}}$ на $1$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1^{0}}{5^{0}} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{2 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{3 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Этап 2.1.5

Объединим.

$\frac{2 \cdot 1^{0}}{3 \cdot 5^{0}} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{2 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{3 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Этап 2.1.6

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 5^{0}} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{2 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{3 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Этап 2.1.7

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{2 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{3 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Этап 2.1.8

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{2}{3 \cdot 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{2 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{3 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Этап 2.1.9

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{2 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{3 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Этап 2.1.10

Вычтем $1$ из $2$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{3 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Этап 2.1.11

Упростим.

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{5}) + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{3 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Этап 2.1.12

Умножим $\frac{2}{3} (- \frac{1}{5})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.12.1

Умножим $\frac{2}{3}$ на $\frac{1}{5}$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3 \cdot 5} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{3 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Этап 2.1.12.2

Умножим $3$ на $5$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{3 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Этап 2.1.13

Вычтем $1$ из $3$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{2} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Этап 2.1.14

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.14.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{5}$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2}{3} \cdot ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{5})}^{2}) + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Этап 2.1.14.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{5}$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2}{3} \cdot ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{5^{2}}) + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Этап 2.1.15

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2}{3} \cdot (1 \frac{1^{2}}{5^{2}}) + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Этап 2.1.16

Умножим $\frac{1^{2}}{5^{2}}$ на $1$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1^{2}}{5^{2}} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Этап 2.1.17

Объединим.

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2 \cdot 1^{2}}{3 \cdot 5^{2}} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Этап 2.1.18

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 5^{2}} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Этап 2.1.19

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 25} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Этап 2.1.20

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2}{3 \cdot 25} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Этап 2.1.21

Умножим $3$ на $25$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2}{75} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Этап 2.1.22

Вычтем $1$ из $4$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2}{75} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{3}$

Этап 2.1.23

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.23.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{5}$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2}{75} + \frac{2}{3} \cdot ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{5})}^{3})$

Этап 2.1.23.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{5}$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2}{75} + \frac{2}{3} \cdot ({(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{5^{3}})$

Этап 2.1.24

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2}{75} + \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1^{3}}{5^{3}})$

Этап 2.1.25

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2}{75} + \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{5^{3}})$

Этап 2.1.26

Возведем $5$ в степень $3$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2}{75} + \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{125})$

Этап 2.1.27

Умножим $\frac{2}{3} (- \frac{1}{125})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.27.1

Умножим $\frac{2}{3}$ на $\frac{1}{125}$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2}{75} - \frac{2}{3 \cdot 125}$

Этап 2.1.27.2

Умножим $3$ на $125$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2}{75} - \frac{2}{375}$

Этап 2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Умножим $\frac{2}{3}$ на $\frac{125}{125}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{125}{125} - \frac{2}{15} + \frac{2}{75} - \frac{2}{375}$

Этап 2.2.2

Умножим $\frac{2}{3}$ на $\frac{125}{125}$ .

$\frac{2 \cdot 125}{3 \cdot 125} - \frac{2}{15} + \frac{2}{75} - \frac{2}{375}$

Этап 2.2.3

Умножим $\frac{2}{15}$ на $\frac{25}{25}$ .

$\frac{2 \cdot 125}{3 \cdot 125} - (\frac{2}{15} \cdot \frac{25}{25}) + \frac{2}{75} - \frac{2}{375}$

Этап 2.2.4

Умножим $\frac{2}{15}$ на $\frac{25}{25}$ .

$\frac{2 \cdot 125}{3 \cdot 125} - \frac{2 \cdot 25}{15 \cdot 25} + \frac{2}{75} - \frac{2}{375}$

Этап 2.2.5

Умножим $\frac{2}{75}$ на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2 \cdot 125}{3 \cdot 125} - \frac{2 \cdot 25}{15 \cdot 25} + \frac{2}{75} \cdot \frac{5}{5} - \frac{2}{375}$

Этап 2.2.6

Умножим $\frac{2}{75}$ на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2 \cdot 125}{3 \cdot 125} - \frac{2 \cdot 25}{15 \cdot 25} + \frac{2 \cdot 5}{75 \cdot 5} - \frac{2}{375}$

Этап 2.2.7

Умножим $3$ на $125$ .

$\frac{2 \cdot 125}{375} - \frac{2 \cdot 25}{15 \cdot 25} + \frac{2 \cdot 5}{75 \cdot 5} - \frac{2}{375}$

Этап 2.2.8

Умножим $15$ на $25$ .

$\frac{2 \cdot 125}{375} - \frac{2 \cdot 25}{375} + \frac{2 \cdot 5}{75 \cdot 5} - \frac{2}{375}$

Этап 2.2.9

Изменим порядок множителей в $75 \cdot 5$ .

$\frac{2 \cdot 125}{375} - \frac{2 \cdot 25}{375} + \frac{2 \cdot 5}{5 \cdot 75} - \frac{2}{375}$

Этап 2.2.10

Умножим $5$ на $75$ .

$\frac{2 \cdot 125}{375} - \frac{2 \cdot 25}{375} + \frac{2 \cdot 5}{375} - \frac{2}{375}$

Этап 2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 \cdot 125 - 2 \cdot 25 + 2 \cdot 5 - 2}{375}$

Этап 2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Умножим $2$ на $125$ .

$\frac{250 - 2 \cdot 25 + 2 \cdot 5 - 2}{375}$

Этап 2.4.2

Умножим $- 2$ на $25$ .

$\frac{250 - 50 + 2 \cdot 5 - 2}{375}$

Этап 2.4.3

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{250 - 50 + 10 - 2}{375}$

Этап 2.5

Вычтем $50$ из $250$ .

$\frac{200 + 10 - 2}{375}$

Этап 2.6

Добавим $200$ и $10$ .

$\frac{210 - 2}{375}$

Этап 2.7

Вычтем $2$ из $210$ .

$\frac{208}{375}$

Этап 3

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{208}{375}$

Десятичная форма:

$0.554\overline{6}$