Математический анализ Примеры

$\sum_{n = 3}^{20} n (n + 1)$

Этап 1

Упростим суммирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$n \cdot n + n \cdot 1$

Этап 1.2

Умножим $n$ на $n$ .

$n^{2} + n \cdot 1$

Этап 1.3

Умножим $n$ на $1$ .

$n^{2} + n$

Этап 1.4

Переделаем суммирование.

$\sum_{n = 3}^{20} n^{2} + n$

Этап 2

Разобьем сумму так, чтобы начальное значение $n$ было равно $1$ .

$\sum_{n = 3}^{20} n^{2} + n = \sum_{n = 1}^{20} n^{2} + n - \sum_{n = 1}^{2} n^{2} + n$

Этап 3

Найдем значение $\sum_{n = 1}^{20} n^{2} + n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разобьем сумму на меньшие суммы в соответствии с правилами суммирования.

$\sum_{n = 1}^{20} n^{2} + n = \sum_{n = 1}^{20} n^{2} + \sum_{n = 1}^{20} n$

Этап 3.2

Найдем значение $\sum_{n = 1}^{20} n^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Формула суммирования многочлена степени $2$ :

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Этап 3.2.2

Подставим значения в формулу.

$\frac{20 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1)}{6}$

Этап 3.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Сократим общий множитель $20$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $20 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1)$ .

$\frac{2 (10 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1))}{6}$

Этап 3.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 (10 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1))}{2 (3)}$

Этап 3.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (10 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1))}{2 \cdot 3}$

Этап 3.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{10 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1)}{3}$

Этап 3.2.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.1

Умножим $2$ на $20$ .

$\frac{10 (20 + 1) (40 + 1)}{3}$

Этап 3.2.3.2.2

Добавим $20$ и $1$ .

$\frac{10 \cdot 21 (40 + 1)}{3}$

Этап 3.2.3.2.3

Умножим $10$ на $21$ .

$\frac{210 (40 + 1)}{3}$

Этап 3.2.3.2.4

Добавим $40$ и $1$ .

$\frac{210 \cdot 41}{3}$

Этап 3.2.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.3.1

Умножим $210$ на $41$ .

$\frac{8610}{3}$

Этап 3.2.3.3.2

Разделим $8610$ на $3$ .

$2870$

Этап 3.3

Найдем значение $\sum_{n = 1}^{20} n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Формула суммирования многочлена степени $1$ :

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Этап 3.3.2

Подставим значения в формулу.

$\frac{20 (20 + 1)}{2}$

Этап 3.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Сократим общий множитель $20$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $20 (20 + 1)$ .

$\frac{2 (10 (20 + 1))}{2}$

Этап 3.3.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (10 (20 + 1))}{2 (1)}$

Этап 3.3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (10 (20 + 1))}{2 \cdot 1}$

Этап 3.3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{10 (20 + 1)}{1}$

Этап 3.3.3.1.2.4

Разделим $10 (20 + 1)$ на $1$ .

$10 (20 + 1)$

Этап 3.3.3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Добавим $20$ и $1$ .

$10 \cdot 21$

Этап 3.3.3.2.2

Умножим $10$ на $21$ .

$210$

Этап 3.4

Сложим результаты суммирования.

$2870 + 210$

Этап 3.5

Добавим $2870$ и $210$ .

$3080$

Этап 4

Найдем значение $\sum_{n = 1}^{2} n^{2} + n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Развернем ряд для каждого значения $n$ .

$1^{2} + 1 + 2^{2} + 2$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возведем $1$ в степень $2$ .

$1 + 1 + 2^{2} + 2$

Этап 4.2.2

Добавим $1$ и $1$ .

$2 + 2^{2} + 2$

Этап 4.2.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$2 + 4 + 2$

Этап 4.2.4

Добавим $4$ и $2$ .

$2 + 6$

Этап 4.2.5

Добавим $2$ и $6$ .

$8$

Этап 5

Подставим найденные значения вместо результатов суммирования.

$3080 - 8$

Этап 6

Вычтем $8$ из $3080$ .

$3072$