Математический анализ Примеры

$\sqrt{\frac{t}{t^{2} + 1}}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{\frac{t}{t^{2} + 1}}$ в виде ${(\frac{t}{t^{2} + 1})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [{(\frac{t}{t^{2} + 1})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ и $g (t) = \frac{t}{t^{2} + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{t}{t^{2} + 1}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [\frac{t}{t^{2} + 1}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [\frac{t}{t^{2} + 1}]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{t}{t^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t^{2} + 1})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [\frac{t}{t^{2} + 1}]$

Этап 3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t^{2} + 1})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{t^{2} + 1}]$

Этап 4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t^{2} + 1})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{t^{2} + 1}]$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t^{2} + 1})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{t^{2} + 1}]$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t^{2} + 1})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{t^{2} + 1}]$

Этап 6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t^{2} + 1})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{t^{2} + 1}]$

Этап 7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t^{2} + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{t^{2} + 1}]$

Этап 8

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ имеет вид $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , где $f (t) = t$ и $g (t) = t^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t^{2} + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 9

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t^{2} + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(t^{2} + 1) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 9.2

Умножим $t^{2} + 1$ на $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t^{2} + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{t^{2} + 1 - t \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 9.3

По правилу суммы производная $t^{2} + 1$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t^{2} + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{t^{2} + 1 - t (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1])}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 9.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t^{2} + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{t^{2} + 1 - t (2 t + \frac{d}{d t} [1])}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 9.5

Поскольку $1$ является константой относительно $t$ , производная $1$ относительно $t$ равна $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t^{2} + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{t^{2} + 1 - t (2 t + 0)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 9.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.1

Добавим $2 t$ и $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t^{2} + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{t^{2} + 1 - t (2 t)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 9.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t^{2} + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{t^{2} + 1 - 2 t \cdot t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 10

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t^{2} + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{t^{2} + 1 - 2 (t^{1} t)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 11

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t^{2} + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{t^{2} + 1 - 2 (t^{1} t^{1})}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 12

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t^{2} + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{t^{2} + 1 - 2 t^{1 + 1}}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 13

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t^{2} + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{t^{2} + 1 - 2 t^{2}}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 14

Вычтем $2 t^{2}$ из $t^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t^{2} + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{- t^{2} + 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 15

Умножим $\frac{- t^{2} + 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- t^{2} + 1}{{(t^{2} + 1)}^{2} \cdot 2} {(\frac{t}{t^{2} + 1})}^{- \frac{1}{2}}$

Этап 16

Перенесем $2$ влево от ${(t^{2} + 1)}^{2}$ .

$\frac{- t^{2} + 1}{2 \cdot {(t^{2} + 1)}^{2}} {(\frac{t}{t^{2} + 1})}^{- \frac{1}{2}}$

Этап 17

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Изменим знак экспоненты, переписав основание в виде обратной величины.

$\frac{- t^{2} + 1}{2 {(t^{2} + 1)}^{2}} {(\frac{t^{2} + 1}{t})}^{\frac{1}{2}}$

Этап 17.2

Применим правило умножения к $\frac{t^{2} + 1}{t}$ .

$\frac{- t^{2} + 1}{2 {(t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{t^{\frac{1}{2}}}$

Этап 17.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.3.1

Умножим $\frac{- t^{2} + 1}{2 {(t^{2} + 1)}^{2}}$ на $\frac{{(t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(- t^{2} + 1) {(t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(t^{2} + 1)}^{2} t^{\frac{1}{2}}}$

Этап 17.3.2

Перенесем ${(t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{- t^{2} + 1}{2 {(t^{2} + 1)}^{2} t^{\frac{1}{2}} {(t^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}$

Этап 17.3.3

Умножим ${(t^{2} + 1)}^{2}$ на ${(t^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.3.3.1

Перенесем ${(t^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{- t^{2} + 1}{2 ({(t^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} {(t^{2} + 1)}^{2}) t^{\frac{1}{2}}}$

Этап 17.3.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- t^{2} + 1}{2 {(t^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2} + 2} t^{\frac{1}{2}}}$

Этап 17.3.3.3

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- t^{2} + 1}{2 {(t^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

Этап 17.3.3.4

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- t^{2} + 1}{2 {(t^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

Этап 17.3.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- t^{2} + 1}{2 {(t^{2} + 1)}^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

Этап 17.3.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.3.3.6.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{- t^{2} + 1}{2 {(t^{2} + 1)}^{\frac{- 1 + 4}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

Этап 17.3.3.6.2

Добавим $- 1$ и $4$ .

$\frac{- t^{2} + 1}{2 {(t^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

Этап 17.4

Изменим порядок членов.

$\frac{- t^{2} + 1}{2 t^{\frac{1}{2}} {(t^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 17.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.5.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{- t^{2} + 1^{2}}{2 t^{\frac{1}{2}} {(t^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 17.5.2

Изменим порядок $- t^{2}$ и $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} - t^{2}}{2 t^{\frac{1}{2}} {(t^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 17.5.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = t$ .

$\frac{(1 + t) (1 - t)}{2 t^{\frac{1}{2}} {(t^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$