Математический анализ Примеры

$\frac{t^{6} - 13 t^{4} + 12}{10 t^{3} + 3}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ имеет вид $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , где $f (t) = t^{6} - 13 t^{4} + 12$ и $g (t) = 10 t^{3} + 3$ .

$\frac{(10 t^{3} + 3) \frac{d}{d t} [t^{6} - 13 t^{4} + 12] - (t^{6} - 13 t^{4} + 12) \frac{d}{d t} [10 t^{3} + 3]}{{(10 t^{3} + 3)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $t^{6} - 13 t^{4} + 12$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t^{6}] + \frac{d}{d t} [- 13 t^{4}] + \frac{d}{d t} [12]$ .

$\frac{(10 t^{3} + 3) (\frac{d}{d t} [t^{6}] + \frac{d}{d t} [- 13 t^{4}] + \frac{d}{d t} [12]) - (t^{6} - 13 t^{4} + 12) \frac{d}{d t} [10 t^{3} + 3]}{{(10 t^{3} + 3)}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 6$ .

$\frac{(10 t^{3} + 3) (6 t^{5} + \frac{d}{d t} [- 13 t^{4}] + \frac{d}{d t} [12]) - (t^{6} - 13 t^{4} + 12) \frac{d}{d t} [10 t^{3} + 3]}{{(10 t^{3} + 3)}^{2}}$

Этап 2.3

Поскольку $- 13$ является константой относительно $t$ , производная $- 13 t^{4}$ по $t$ равна $- 13 \frac{d}{d t} [t^{4}]$ .

$\frac{(10 t^{3} + 3) (6 t^{5} - 13 \frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [12]) - (t^{6} - 13 t^{4} + 12) \frac{d}{d t} [10 t^{3} + 3]}{{(10 t^{3} + 3)}^{2}}$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{(10 t^{3} + 3) (6 t^{5} - 13 (4 t^{3}) + \frac{d}{d t} [12]) - (t^{6} - 13 t^{4} + 12) \frac{d}{d t} [10 t^{3} + 3]}{{(10 t^{3} + 3)}^{2}}$

Этап 2.5

Умножим $4$ на $- 13$ .

$\frac{(10 t^{3} + 3) (6 t^{5} - 52 t^{3} + \frac{d}{d t} [12]) - (t^{6} - 13 t^{4} + 12) \frac{d}{d t} [10 t^{3} + 3]}{{(10 t^{3} + 3)}^{2}}$

Этап 2.6

Поскольку $12$ является константой относительно $t$ , производная $12$ относительно $t$ равна $0$ .

$\frac{(10 t^{3} + 3) (6 t^{5} - 52 t^{3} + 0) - (t^{6} - 13 t^{4} + 12) \frac{d}{d t} [10 t^{3} + 3]}{{(10 t^{3} + 3)}^{2}}$

Этап 2.7

Добавим $6 t^{5} - 52 t^{3}$ и $0$ .

$\frac{(10 t^{3} + 3) (6 t^{5} - 52 t^{3}) - (t^{6} - 13 t^{4} + 12) \frac{d}{d t} [10 t^{3} + 3]}{{(10 t^{3} + 3)}^{2}}$

Этап 2.8

По правилу суммы производная $10 t^{3} + 3$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [10 t^{3}] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$\frac{(10 t^{3} + 3) (6 t^{5} - 52 t^{3}) - (t^{6} - 13 t^{4} + 12) (\frac{d}{d t} [10 t^{3}] + \frac{d}{d t} [3])}{{(10 t^{3} + 3)}^{2}}$

Этап 2.9

Поскольку $10$ является константой относительно $t$ , производная $10 t^{3}$ по $t$ равна $10 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$\frac{(10 t^{3} + 3) (6 t^{5} - 52 t^{3}) - (t^{6} - 13 t^{4} + 12) (10 \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [3])}{{(10 t^{3} + 3)}^{2}}$

Этап 2.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{(10 t^{3} + 3) (6 t^{5} - 52 t^{3}) - (t^{6} - 13 t^{4} + 12) (10 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [3])}{{(10 t^{3} + 3)}^{2}}$

Этап 2.11

Умножим $3$ на $10$ .

$\frac{(10 t^{3} + 3) (6 t^{5} - 52 t^{3}) - (t^{6} - 13 t^{4} + 12) (30 t^{2} + \frac{d}{d t} [3])}{{(10 t^{3} + 3)}^{2}}$

Этап 2.12

Поскольку $3$ является константой относительно $t$ , производная $3$ относительно $t$ равна $0$ .

$\frac{(10 t^{3} + 3) (6 t^{5} - 52 t^{3}) - (t^{6} - 13 t^{4} + 12) (30 t^{2} + 0)}{{(10 t^{3} + 3)}^{2}}$

Этап 2.13

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.1

Добавим $30 t^{2}$ и $0$ .

$\frac{(10 t^{3} + 3) (6 t^{5} - 52 t^{3}) - (t^{6} - 13 t^{4} + 12) (30 t^{2})}{{(10 t^{3} + 3)}^{2}}$

Этап 2.13.2

Умножим $30$ на $- 1$ .

$\frac{(10 t^{3} + 3) (6 t^{5} - 52 t^{3}) - 30 (t^{6} - 13 t^{4} + 12) t^{2}}{{(10 t^{3} + 3)}^{2}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(10 t^{3} + 3) (6 t^{5} - 52 t^{3}) + (- 30 t^{6} - 30 (- 13 t^{4}) - 30 \cdot 12) t^{2}}{{(10 t^{3} + 3)}^{2}}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(10 t^{3} + 3) (6 t^{5} - 52 t^{3}) - 30 t^{6} t^{2} - 30 (- 13 t^{4}) t^{2} - 30 \cdot 12 t^{2}}{{(10 t^{3} + 3)}^{2}}$

Этап 3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Развернем $(10 t^{3} + 3) (6 t^{5} - 52 t^{3})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{10 t^{3} (6 t^{5} - 52 t^{3}) + 3 (6 t^{5} - 52 t^{3}) - 30 t^{6} t^{2} - 30 (- 13 t^{4}) t^{2} - 30 \cdot 12 t^{2}}{{(10 t^{3} + 3)}^{2}}$

Этап 3.3.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{10 t^{3} (6 t^{5}) + 10 t^{3} (- 52 t^{3}) + 3 (6 t^{5} - 52 t^{3}) - 30 t^{6} t^{2} - 30 (- 13 t^{4}) t^{2} - 30 \cdot 12 t^{2}}{{(10 t^{3} + 3)}^{2}}$

Этап 3.3.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{10 t^{3} (6 t^{5}) + 10 t^{3} (- 52 t^{3}) + 3 (6 t^{5}) + 3 (- 52 t^{3}) - 30 t^{6} t^{2} - 30 (- 13 t^{4}) t^{2} - 30 \cdot 12 t^{2}}{{(10 t^{3} + 3)}^{2}}$

Этап 3.3.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{10 \cdot 6 t^{3} t^{5} + 10 t^{3} (- 52 t^{3}) + 3 (6 t^{5}) + 3 (- 52 t^{3}) - 30 t^{6} t^{2} - 30 (- 13 t^{4}) t^{2} - 30 \cdot 12 t^{2}}{{(10 t^{3} + 3)}^{2}}$

Этап 3.3.1.2.2

Умножим $t^{3}$ на $t^{5}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.2.1

Перенесем $t^{5}$ .

$\frac{10 \cdot 6 (t^{5} t^{3}) + 10 t^{3} (- 52 t^{3}) + 3 (6 t^{5}) + 3 (- 52 t^{3}) - 30 t^{6} t^{2} - 30 (- 13 t^{4}) t^{2} - 30 \cdot 12 t^{2}}{{(10 t^{3} + 3)}^{2}}$

Этап 3.3.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{10 \cdot 6 t^{5 + 3} + 10 t^{3} (- 52 t^{3}) + 3 (6 t^{5}) + 3 (- 52 t^{3}) - 30 t^{6} t^{2} - 30 (- 13 t^{4}) t^{2} - 30 \cdot 12 t^{2}}{{(10 t^{3} + 3)}^{2}}$

Этап 3.3.1.2.2.3

Добавим $5$ и $3$ .

$\frac{10 \cdot 6 t^{8} + 10 t^{3} (- 52 t^{3}) + 3 (6 t^{5}) + 3 (- 52 t^{3}) - 30 t^{6} t^{2} - 30 (- 13 t^{4}) t^{2} - 30 \cdot 12 t^{2}}{{(10 t^{3} + 3)}^{2}}$

Этап 3.3.1.2.3

Умножим $10$ на $6$ .

$\frac{60 t^{8} + 10 t^{3} (- 52 t^{3}) + 3 (6 t^{5}) + 3 (- 52 t^{3}) - 30 t^{6} t^{2} - 30 (- 13 t^{4}) t^{2} - 30 \cdot 12 t^{2}}{{(10 t^{3} + 3)}^{2}}$

Этап 3.3.1.2.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{60 t^{8} + 10 \cdot - 52 t^{3} t^{3} + 3 (6 t^{5}) + 3 (- 52 t^{3}) - 30 t^{6} t^{2} - 30 (- 13 t^{4}) t^{2} - 30 \cdot 12 t^{2}}{{(10 t^{3} + 3)}^{2}}$

Этап 3.3.1.2.5

Умножим $t^{3}$ на $t^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.5.1

Перенесем $t^{3}$ .

$\frac{60 t^{8} + 10 \cdot - 52 (t^{3} t^{3}) + 3 (6 t^{5}) + 3 (- 52 t^{3}) - 30 t^{6} t^{2} - 30 (- 13 t^{4}) t^{2} - 30 \cdot 12 t^{2}}{{(10 t^{3} + 3)}^{2}}$

Этап 3.3.1.2.5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{60 t^{8} + 10 \cdot - 52 t^{3 + 3} + 3 (6 t^{5}) + 3 (- 52 t^{3}) - 30 t^{6} t^{2} - 30 (- 13 t^{4}) t^{2} - 30 \cdot 12 t^{2}}{{(10 t^{3} + 3)}^{2}}$

Этап 3.3.1.2.5.3

Добавим $3$ и $3$ .

$\frac{60 t^{8} + 10 \cdot - 52 t^{6} + 3 (6 t^{5}) + 3 (- 52 t^{3}) - 30 t^{6} t^{2} - 30 (- 13 t^{4}) t^{2} - 30 \cdot 12 t^{2}}{{(10 t^{3} + 3)}^{2}}$

Этап 3.3.1.2.6

Умножим $10$ на $- 52$ .

$\frac{60 t^{8} - 520 t^{6} + 3 (6 t^{5}) + 3 (- 52 t^{3}) - 30 t^{6} t^{2} - 30 (- 13 t^{4}) t^{2} - 30 \cdot 12 t^{2}}{{(10 t^{3} + 3)}^{2}}$

Этап 3.3.1.2.7

Умножим $6$ на $3$ .

$\frac{60 t^{8} - 520 t^{6} + 18 t^{5} + 3 (- 52 t^{3}) - 30 t^{6} t^{2} - 30 (- 13 t^{4}) t^{2} - 30 \cdot 12 t^{2}}{{(10 t^{3} + 3)}^{2}}$

Этап 3.3.1.2.8

Умножим $- 52$ на $3$ .

$\frac{60 t^{8} - 520 t^{6} + 18 t^{5} - 156 t^{3} - 30 t^{6} t^{2} - 30 (- 13 t^{4}) t^{2} - 30 \cdot 12 t^{2}}{{(10 t^{3} + 3)}^{2}}$

Этап 3.3.1.3

Умножим $t^{6}$ на $t^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Перенесем $t^{2}$ .

$\frac{60 t^{8} - 520 t^{6} + 18 t^{5} - 156 t^{3} - 30 (t^{2} t^{6}) - 30 (- 13 t^{4}) t^{2} - 30 \cdot 12 t^{2}}{{(10 t^{3} + 3)}^{2}}$

Этап 3.3.1.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{60 t^{8} - 520 t^{6} + 18 t^{5} - 156 t^{3} - 30 t^{2 + 6} - 30 (- 13 t^{4}) t^{2} - 30 \cdot 12 t^{2}}{{(10 t^{3} + 3)}^{2}}$

Этап 3.3.1.3.3

Добавим $2$ и $6$ .

$\frac{60 t^{8} - 520 t^{6} + 18 t^{5} - 156 t^{3} - 30 t^{8} - 30 (- 13 t^{4}) t^{2} - 30 \cdot 12 t^{2}}{{(10 t^{3} + 3)}^{2}}$

Этап 3.3.1.4

Умножим $t^{4}$ на $t^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.4.1

Перенесем $t^{2}$ .

$\frac{60 t^{8} - 520 t^{6} + 18 t^{5} - 156 t^{3} - 30 t^{8} - 30 (- 13 (t^{2} t^{4})) - 30 \cdot 12 t^{2}}{{(10 t^{3} + 3)}^{2}}$

Этап 3.3.1.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{60 t^{8} - 520 t^{6} + 18 t^{5} - 156 t^{3} - 30 t^{8} - 30 (- 13 t^{2 + 4}) - 30 \cdot 12 t^{2}}{{(10 t^{3} + 3)}^{2}}$

Этап 3.3.1.4.3

Добавим $2$ и $4$ .

$\frac{60 t^{8} - 520 t^{6} + 18 t^{5} - 156 t^{3} - 30 t^{8} - 30 (- 13 t^{6}) - 30 \cdot 12 t^{2}}{{(10 t^{3} + 3)}^{2}}$

Этап 3.3.1.5

Умножим $- 13$ на $- 30$ .

$\frac{60 t^{8} - 520 t^{6} + 18 t^{5} - 156 t^{3} - 30 t^{8} + 390 t^{6} - 30 \cdot 12 t^{2}}{{(10 t^{3} + 3)}^{2}}$

Этап 3.3.1.6

Умножим $- 30$ на $12$ .

$\frac{60 t^{8} - 520 t^{6} + 18 t^{5} - 156 t^{3} - 30 t^{8} + 390 t^{6} - 360 t^{2}}{{(10 t^{3} + 3)}^{2}}$

Этап 3.3.2

Вычтем $30 t^{8}$ из $60 t^{8}$ .

$\frac{30 t^{8} - 520 t^{6} + 18 t^{5} - 156 t^{3} + 390 t^{6} - 360 t^{2}}{{(10 t^{3} + 3)}^{2}}$

Этап 3.3.3

Добавим $- 520 t^{6}$ и $390 t^{6}$ .

$\frac{30 t^{8} - 130 t^{6} + 18 t^{5} - 156 t^{3} - 360 t^{2}}{{(10 t^{3} + 3)}^{2}}$

Этап 3.4

Вынесем множитель $2 t^{2}$ из $30 t^{8} - 130 t^{6} + 18 t^{5} - 156 t^{3} - 360 t^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $2 t^{2}$ из $30 t^{8}$ .

$\frac{2 t^{2} (15 t^{6}) - 130 t^{6} + 18 t^{5} - 156 t^{3} - 360 t^{2}}{{(10 t^{3} + 3)}^{2}}$

Этап 3.4.2

Вынесем множитель $2 t^{2}$ из $- 130 t^{6}$ .

$\frac{2 t^{2} (15 t^{6}) + 2 t^{2} (- 65 t^{4}) + 18 t^{5} - 156 t^{3} - 360 t^{2}}{{(10 t^{3} + 3)}^{2}}$

Этап 3.4.3

Вынесем множитель $2 t^{2}$ из $18 t^{5}$ .

$\frac{2 t^{2} (15 t^{6}) + 2 t^{2} (- 65 t^{4}) + 2 t^{2} (9 t^{3}) - 156 t^{3} - 360 t^{2}}{{(10 t^{3} + 3)}^{2}}$

Этап 3.4.4

Вынесем множитель $2 t^{2}$ из $- 156 t^{3}$ .

$\frac{2 t^{2} (15 t^{6}) + 2 t^{2} (- 65 t^{4}) + 2 t^{2} (9 t^{3}) + 2 t^{2} (- 78 t) - 360 t^{2}}{{(10 t^{3} + 3)}^{2}}$

Этап 3.4.5

Вынесем множитель $2 t^{2}$ из $- 360 t^{2}$ .

$\frac{2 t^{2} (15 t^{6}) + 2 t^{2} (- 65 t^{4}) + 2 t^{2} (9 t^{3}) + 2 t^{2} (- 78 t) + 2 t^{2} (- 180)}{{(10 t^{3} + 3)}^{2}}$

Этап 3.4.6

Вынесем множитель $2 t^{2}$ из $2 t^{2} (15 t^{6}) + 2 t^{2} (- 65 t^{4})$ .

$\frac{2 t^{2} (15 t^{6} - 65 t^{4}) + 2 t^{2} (9 t^{3}) + 2 t^{2} (- 78 t) + 2 t^{2} (- 180)}{{(10 t^{3} + 3)}^{2}}$

Этап 3.4.7

Вынесем множитель $2 t^{2}$ из $2 t^{2} (15 t^{6} - 65 t^{4}) + 2 t^{2} (9 t^{3})$ .

$\frac{2 t^{2} (15 t^{6} - 65 t^{4} + 9 t^{3}) + 2 t^{2} (- 78 t) + 2 t^{2} (- 180)}{{(10 t^{3} + 3)}^{2}}$

Этап 3.4.8

Вынесем множитель $2 t^{2}$ из $2 t^{2} (15 t^{6} - 65 t^{4} + 9 t^{3}) + 2 t^{2} (- 78 t)$ .

$\frac{2 t^{2} (15 t^{6} - 65 t^{4} + 9 t^{3} - 78 t) + 2 t^{2} (- 180)}{{(10 t^{3} + 3)}^{2}}$

Этап 3.4.9

Вынесем множитель $2 t^{2}$ из $2 t^{2} (15 t^{6} - 65 t^{4} + 9 t^{3} - 78 t) + 2 t^{2} (- 180)$ .

$\frac{2 t^{2} (15 t^{6} - 65 t^{4} + 9 t^{3} - 78 t - 180)}{{(10 t^{3} + 3)}^{2}}$