Математический анализ Примеры

$\sin (x y) = \cos (x + y)$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (\sin (x y)) = \frac{d}{d x} (\cos (x + y))$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 2.1.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x y$ .

$\cos (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$\cos (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\cos (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\cos (x y) (x y' + y \cdot 1)$

Этап 2.5

Умножим $y$ на $1$ .

$\cos (x y) (x y' + y)$

Этап 2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (x y) (x y') + \cos (x y) y$

Этап 2.6.2

Изменим порядок членов.

$x \cos (x y) y' + y \cos (x y)$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x + y]$

Этап 3.1.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [x + y]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + y$ .

$- \sin (x + y) \frac{d}{d x} [x + y]$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

По правилу суммы производная $x + y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$- \sin (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \sin (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$- \sin (x + y) (1 + y')$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$x \cos (x y) y' + y \cos (x y) = - \sin (x + y) (1 + y')$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Изменим порядок множителей в $x \cos (x y) y' + y \cos (x y)$ .

$x y' \cos (x y) + y \cos (x y) = - \sin (x + y) (1 + y')$

Этап 5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим $- \sin (x + y) (1 + y')$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x y' \cos (x y) + y \cos (x y) = - \sin (x + y) \cdot 1 - \sin (x + y) y'$

Этап 5.2.1.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$x y' \cos (x y) + y \cos (x y) = - \sin (x + y) - \sin (x + y) y'$

Этап 5.2.1.2.2

Изменим порядок множителей в $- \sin (x + y) - \sin (x + y) y'$ .

$x y' \cos (x y) + y \cos (x y) = - \sin (x + y) - y' \sin (x + y)$

Этап 5.3

Добавим $y' \sin (x + y)$ к обеим частям уравнения.

$x y' \cos (x y) + y \cos (x y) + y' \sin (x + y) = - \sin (x + y)$

Этап 5.4

Вычтем $y \cos (x y)$ из обеих частей уравнения.

$x y' \cos (x y) + y' \sin (x + y) = - \sin (x + y) - y \cos (x y)$

Этап 5.5

Вынесем множитель $y'$ из $x y' \cos (x y) + y' \sin (x + y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Вынесем множитель $y'$ из $x y' \cos (x y)$ .

$y' (x \cos (x y)) + y' (\sin (x + y)) = - \sin (x + y) - y \cos (x y)$

Этап 5.5.2

Вынесем множитель $y'$ из $y' \sin (x + y)$ .

$y' (x \cos (x y)) + y' (\sin (x + y)) = - \sin (x + y) - y \cos (x y)$

Этап 5.5.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' (x \cos (x y)) + y' (\sin (x + y))$ .

$y' (x \cos (x y) + \sin (x + y)) = - \sin (x + y) - y \cos (x y)$

Этап 5.6

Разделим каждый член $y' (x \cos (x y) + \sin (x + y)) = - \sin (x + y) - y \cos (x y)$ на $x \cos (x y) + \sin (x + y)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Разделим каждый член $y' (x \cos (x y) + \sin (x + y)) = - \sin (x + y) - y \cos (x y)$ на $x \cos (x y) + \sin (x + y)$ .

$\frac{y' (x \cos (x y) + \sin (x + y))}{x \cos (x y) + \sin (x + y)} = \frac{- \sin (x + y)}{x \cos (x y) + \sin (x + y)} + \frac{- y \cos (x y)}{x \cos (x y) + \sin (x + y)}$

Этап 5.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1

Сократим общий множитель $x \cos (x y) + \sin (x + y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (x \cos (x y) + \sin (x + y))}{x \cos (x y) + \sin (x + y)} = \frac{- \sin (x + y)}{x \cos (x y) + \sin (x + y)} + \frac{- y \cos (x y)}{x \cos (x y) + \sin (x + y)}$

Этап 5.6.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- \sin (x + y)}{x \cos (x y) + \sin (x + y)} + \frac{- y \cos (x y)}{x \cos (x y) + \sin (x + y)}$

Этап 5.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{\sin (x + y)}{x \cos (x y) + \sin (x + y)} + \frac{- y \cos (x y)}{x \cos (x y) + \sin (x + y)}$

Этап 5.6.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{\sin (x + y)}{x \cos (x y) + \sin (x + y)} - \frac{y \cos (x y)}{x \cos (x y) + \sin (x + y)}$

Этап 5.6.3.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.3.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- \sin (x + y) - y \cos (x y)}{x \cos (x y) + \sin (x + y)}$

Этап 5.6.3.2.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sin (x + y)$ .

$y' = \frac{- (\sin (x + y)) - y \cos (x y)}{x \cos (x y) + \sin (x + y)}$

Этап 5.6.3.2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- y \cos (x y)$ .

$y' = \frac{- (\sin (x + y)) - (y \cos (x y))}{x \cos (x y) + \sin (x + y)}$

Этап 5.6.3.2.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (\sin (x + y)) - (y \cos (x y))$ .

$y' = \frac{- (\sin (x + y) + y \cos (x y))}{x \cos (x y) + \sin (x + y)}$

Этап 5.6.3.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.3.2.5.1

Перепишем $- (\sin (x + y) + y \cos (x y))$ в виде $- 1 (\sin (x + y) + y \cos (x y))$ .

$y' = \frac{- 1 (\sin (x + y) + y \cos (x y))}{x \cos (x y) + \sin (x + y)}$

Этап 5.6.3.2.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{\sin (x + y) + y \cos (x y)}{x \cos (x y) + \sin (x + y)}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\sin (x + y) + y \cos (x y)}{x \cos (x y) + \sin (x + y)}$