Математический анализ Примеры

$p = \frac{\sec (q) + \csc (q)}{\csc (q)}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d q} (p) = \frac{d}{d q} (\frac{\sec (q) + \csc (q)}{\csc (q)})$

Этап 2

Производная $p$ по $q$ равна $p'$ .

$p'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d q} [\frac{f (q)}{g (q)}]$ имеет вид $\frac{g (q) \frac{d}{d q} [f (q)] - f (q) \frac{d}{d q} [g (q)]}{{g (q)}^{2}}$ , где $f (q) = \sec (q) + \csc (q)$ и $g (q) = \csc (q)$ .

$\frac{\csc (q) \frac{d}{d q} [\sec (q) + \csc (q)] - (\sec (q) + \csc (q)) \frac{d}{d q} [\csc (q)]}{\csc^{2} (q)}$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $\sec (q) + \csc (q)$ по $q$ имеет вид $\frac{d}{d q} [\sec (q)] + \frac{d}{d q} [\csc (q)]$ .

$\frac{\csc (q) (\frac{d}{d q} [\sec (q)] + \frac{d}{d q} [\csc (q)]) - (\sec (q) + \csc (q)) \frac{d}{d q} [\csc (q)]}{\csc^{2} (q)}$

Этап 3.3

Производная $\sec (q)$ по $q$ равна $\sec (q) \tan (q)$ .

$\frac{\csc (q) (\sec (q) \tan (q) + \frac{d}{d q} [\csc (q)]) - (\sec (q) + \csc (q)) \frac{d}{d q} [\csc (q)]}{\csc^{2} (q)}$

Этап 3.4

Производная $\csc (q)$ по $q$ равна $- \csc (q) \cot (q)$ .

$\frac{\csc (q) (\sec (q) \tan (q) - \csc (q) \cot (q)) - (\sec (q) + \csc (q)) \frac{d}{d q} [\csc (q)]}{\csc^{2} (q)}$

Этап 3.5

Производная $\csc (q)$ по $q$ равна $- \csc (q) \cot (q)$ .

$\frac{\csc (q) (\sec (q) \tan (q) - \csc (q) \cot (q)) - (\sec (q) + \csc (q)) (- \csc (q) \cot (q))}{\csc^{2} (q)}$

Этап 3.6

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{\csc (q) (\sec (q) \tan (q) - \csc (q) \cot (q)) + 1 (\sec (q) + \csc (q)) (\csc (q) \cot (q))}{\csc^{2} (q)}$

Этап 3.6.2

Умножим $\sec (q) + \csc (q)$ на $1$ .

$\frac{\csc (q) (\sec (q) \tan (q) - \csc (q) \cot (q)) + (\sec (q) + \csc (q)) (\csc (q) \cot (q))}{\csc^{2} (q)}$

Этап 3.6.3

Вынесем множитель $\csc (q)$ из $\csc (q) (\sec (q) \tan (q) - \csc (q) \cot (q)) + (\sec (q) + \csc (q)) \csc (q) \cot (q)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.1

Вынесем множитель $\csc (q)$ из $(\sec (q) + \csc (q)) \csc (q) \cot (q)$ .

$\frac{\csc (q) (\sec (q) \tan (q) - \csc (q) \cot (q)) + \csc (q) ((\sec (q) + \csc (q)) \cot (q))}{\csc^{2} (q)}$

Этап 3.6.3.2

Вынесем множитель $\csc (q)$ из $\csc (q) (\sec (q) \tan (q) - \csc (q) \cot (q)) + \csc (q) ((\sec (q) + \csc (q)) \cot (q))$ .

$\frac{\csc (q) (\sec (q) \tan (q) - \csc (q) \cot (q) + (\sec (q) + \csc (q)) \cot (q))}{\csc^{2} (q)}$

Этап 3.7

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Вынесем множитель $\csc (q)$ из $\csc^{2} (q)$ .

$\frac{\csc (q) (\sec (q) \tan (q) - \csc (q) \cot (q) + (\sec (q) + \csc (q)) \cot (q))}{\csc (q) \csc (q)}$

Этап 3.7.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\csc (q) (\sec (q) \tan (q) - \csc (q) \cot (q) + (\sec (q) + \csc (q)) \cot (q))}{\csc (q) \csc (q)}$

Этап 3.7.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sec (q) \tan (q) - \csc (q) \cot (q) + (\sec (q) + \csc (q)) \cot (q)}{\csc (q)}$

Этап 3.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sec (q) \tan (q) - \csc (q) \cot (q) + \sec (q) \cot (q) + \csc (q) \cot (q)}{\csc (q)}$

Этап 3.8.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.1

Объединим противоположные члены в $\sec (q) \tan (q) - \csc (q) \cot (q) + \sec (q) \cot (q) + \csc (q) \cot (q)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.1.1

Добавим $- \csc (q) \cot (q)$ и $\csc (q) \cot (q)$ .

$\frac{\sec (q) \tan (q) + \sec (q) \cot (q) + 0}{\csc (q)}$

Этап 3.8.2.1.2

Добавим $\sec (q) \tan (q) + \sec (q) \cot (q)$ и $0$ .

$\frac{\sec (q) \tan (q) + \sec (q) \cot (q)}{\csc (q)}$

Этап 3.8.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.2.1

Выразим через синусы и косинусы, затем сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.2.1.1

Изменим порядок $\sec (q)$ и $\cot (q)$ .

$\frac{\sec (q) \tan (q) + \cot (q) \sec (q)}{\csc (q)}$

Этап 3.8.2.2.1.2

Выразим $\sec (q) \cot (q)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\sec (q) \tan (q) + \frac{\cos (q)}{\sin (q)} \cdot \frac{1}{\cos (q)}}{\csc (q)}$

Этап 3.8.2.2.1.3

Сократим общие множители.

$\frac{\sec (q) \tan (q) + \frac{1}{\sin (q)}}{\csc (q)}$

Этап 3.8.2.2.2

Переведем $\frac{1}{\sin (q)}$ в $\csc (q)$ .

$\frac{\sec (q) \tan (q) + \csc (q)}{\csc (q)}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$p' = \frac{\sec (q) \tan (q) + \csc (q)}{\csc (q)}$

Этап 5

Заменим $p'$ на $\frac{d p}{d q}$ .

$\frac{d p}{d q} = \frac{\sec (q) \tan (q) + \csc (q)}{\csc (q)}$