Математический анализ Примеры

$g (θ) = e^{θ} (\tan (θ) - θ)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ имеет вид $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ , где $f (θ) = e^{θ}$ и $g (θ) = \tan (θ) - θ$ .

$e^{θ} \frac{d}{d θ} [\tan (θ) - θ] + (\tan (θ) - θ) \frac{d}{d θ} [e^{θ}]$

Этап 2

По правилу суммы производная $\tan (θ) - θ$ по $θ$ имеет вид $\frac{d}{d θ} [\tan (θ)] + \frac{d}{d θ} [- θ]$ .

$e^{θ} (\frac{d}{d θ} [\tan (θ)] + \frac{d}{d θ} [- θ]) + (\tan (θ) - θ) \frac{d}{d θ} [e^{θ}]$

Этап 3

Производная $\tan (θ)$ по $θ$ равна $\sec^{2} (θ)$ .

$e^{θ} (\sec^{2} (θ) + \frac{d}{d θ} [- θ]) + (\tan (θ) - θ) \frac{d}{d θ} [e^{θ}]$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $θ$ , производная $- θ$ по $θ$ равна $- \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$e^{θ} (\sec^{2} (θ) - \frac{d}{d θ} [θ]) + (\tan (θ) - θ) \frac{d}{d θ} [e^{θ}]$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ имеет вид $n θ^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{θ} (\sec^{2} (θ) - 1 \cdot 1) + (\tan (θ) - θ) \frac{d}{d θ} [e^{θ}]$

Этап 4.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$e^{θ} (\sec^{2} (θ) - 1) + (\tan (θ) - θ) \frac{d}{d θ} [e^{θ}]$

Этап 5

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d θ} [a^{θ}]$ имеет вид $a^{θ} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{θ} (\sec^{2} (θ) - 1) + (\tan (θ) - θ) e^{θ}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{θ} \sec^{2} (θ) + e^{θ} \cdot - 1 + (\tan (θ) - θ) e^{θ}$

Этап 6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{θ} \sec^{2} (θ) + e^{θ} \cdot - 1 + \tan (θ) e^{θ} - θ e^{θ}$

Этап 6.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Перенесем $- 1$ влево от $e^{θ}$ .

$e^{θ} \sec^{2} (θ) - 1 \cdot e^{θ} + \tan (θ) e^{θ} - θ e^{θ}$

Этап 6.3.2

Перепишем $- 1 e^{θ}$ в виде $- e^{θ}$ .

$e^{θ} \sec^{2} (θ) - e^{θ} + \tan (θ) e^{θ} - θ e^{θ}$

Этап 6.4

Изменим порядок членов.

$e^{θ} \sec^{2} (θ) + e^{θ} \tan (θ) - e^{θ} θ - e^{θ}$

Этап 6.5

Перенесем $- e^{θ}$ .

$e^{θ} \sec^{2} (θ) - e^{θ} + e^{θ} \tan (θ) - e^{θ} θ$

Этап 6.6

Вынесем множитель $e^{θ}$ из $e^{θ} \sec^{2} (θ)$ .

$e^{θ} (\sec^{2} (θ)) - e^{θ} + e^{θ} \tan (θ) - e^{θ} θ$

Этап 6.7

Вынесем множитель $e^{θ}$ из $- e^{θ}$ .

$e^{θ} (\sec^{2} (θ)) + e^{θ} \cdot - 1 + e^{θ} \tan (θ) - e^{θ} θ$

Этап 6.8

Вынесем множитель $e^{θ}$ из $e^{θ} (\sec^{2} (θ)) + e^{θ} \cdot - 1$ .

$e^{θ} (\sec^{2} (θ) - 1) + e^{θ} \tan (θ) - e^{θ} θ$

Этап 6.9

Применим формулу Пифагора.

$e^{θ} \tan^{2} (θ) + e^{θ} \tan (θ) - e^{θ} θ$

Этап 6.10

Изменим порядок множителей в $e^{θ} \tan^{2} (θ) + e^{θ} \tan (θ) - e^{θ} θ$ .

$e^{θ} \tan^{2} (θ) + e^{θ} \tan (θ) - θ e^{θ}$