Математический анализ Примеры

$s (t) = \frac{6 t}{\sin (t)}$

Этап 1

Поскольку $6$ является константой относительно $t$ , производная $\frac{6 t}{\sin (t)}$ по $t$ равна $6 \frac{d}{d t} [\frac{t}{\sin (t)}]$ .

$6 \frac{d}{d t} [\frac{t}{\sin (t)}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ имеет вид $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , где $f (t) = t$ и $g (t) = \sin (t)$ .

$6 \frac{\sin (t) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [\sin (t)]}{\sin^{2} (t)}$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 \frac{\sin (t) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [\sin (t)]}{\sin^{2} (t)}$

Этап 3.2

Умножим $\sin (t)$ на $1$ .

$6 \frac{\sin (t) - t \frac{d}{d t} [\sin (t)]}{\sin^{2} (t)}$

Этап 4

Производная $\sin (t)$ по $t$ равна $\cos (t)$ .

$6 \frac{\sin (t) - t \cos (t)}{\sin^{2} (t)}$

Этап 5

Объединим $6$ и $\frac{\sin (t) - t \cos (t)}{\sin^{2} (t)}$ .

$\frac{6 (\sin (t) - t \cos (t))}{\sin^{2} (t)}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{6 \sin (t) + 6 (- t \cos (t))}{\sin^{2} (t)}$

Этап 6.2

Умножим $- 1$ на $6$ .

$\frac{6 \sin (t) - 6 t \cos (t)}{\sin^{2} (t)}$

Этап 6.3

Изменим порядок членов.

$\frac{- 6 t \cos (t) + 6 \sin (t)}{\sin^{2} (t)}$