Математический анализ Примеры

$y = \frac{x^{9}}{x^{6}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{9}$ и $g (x) = x^{6}$ .

$\frac{x^{6} \frac{d}{d x} [x^{9}] - x^{9} \frac{d}{d x} [x^{6}]}{{(x^{6})}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 9$ .

$\frac{x^{6} (9 x^{8}) - x^{9} \frac{d}{d x} [x^{6}]}{{(x^{6})}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 6$ .

$\frac{x^{6} (9 x^{8}) - x^{9} (6 x^{5})}{{(x^{6})}^{2}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{9 x^{6} x^{8} - x^{9} (6 x^{5})}{{(x^{6})}^{2}}$

Этап 3.1.1.2

Умножим $x^{6}$ на $x^{8}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.2.1

Перенесем $x^{8}$ .

$\frac{9 (x^{8} x^{6}) - x^{9} (6 x^{5})}{{(x^{6})}^{2}}$

Этап 3.1.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{9 x^{8 + 6} - x^{9} (6 x^{5})}{{(x^{6})}^{2}}$

Этап 3.1.1.2.3

Добавим $8$ и $6$ .

$\frac{9 x^{14} - x^{9} (6 x^{5})}{{(x^{6})}^{2}}$

Этап 3.1.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{9 x^{14} - 1 \cdot 6 x^{9} x^{5}}{{(x^{6})}^{2}}$

Этап 3.1.1.4

Умножим $x^{9}$ на $x^{5}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.4.1

Перенесем $x^{5}$ .

$\frac{9 x^{14} - 1 \cdot 6 (x^{5} x^{9})}{{(x^{6})}^{2}}$

Этап 3.1.1.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{9 x^{14} - 1 \cdot 6 x^{5 + 9}}{{(x^{6})}^{2}}$

Этап 3.1.1.4.3

Добавим $5$ и $9$ .

$\frac{9 x^{14} - 1 \cdot 6 x^{14}}{{(x^{6})}^{2}}$

Этап 3.1.1.5

Умножим $- 1$ на $6$ .

$\frac{9 x^{14} - 6 x^{14}}{{(x^{6})}^{2}}$

Этап 3.1.2

Вычтем $6 x^{14}$ из $9 x^{14}$ .

$\frac{3 x^{14}}{{(x^{6})}^{2}}$

Этап 3.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{6})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 x^{14}}{x^{6 \cdot 2}}$

Этап 3.2.1.2

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{3 x^{14}}{x^{12}}$

Этап 3.2.2

Сократим общий множитель $x^{14}$ и $x^{12}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вынесем множитель $x^{12}$ из $3 x^{14}$ .

$\frac{x^{12} (3 x^{2})}{x^{12}}$

Этап 3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Умножим на $1$ .

$\frac{x^{12} (3 x^{2})}{x^{12} \cdot 1}$

Этап 3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{12} (3 x^{2})}{x^{12} \cdot 1}$

Этап 3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3 x^{2}}{1}$

Этап 3.2.2.2.4

Разделим $3 x^{2}$ на $1$ .

$3 x^{2}$