Математический анализ Примеры

$y = \sec (x) \tan (x)$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\sec (x) \tan (x))$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \sec (x)$ и $g (x) = \tan (x)$ .

$\sec (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Этап 3.2

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$\sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Этап 3.3

Умножим $\sec (x)$ на $\sec^{2} (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $\sec (x)$ на $\sec^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$\sec^{1} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Этап 3.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${\sec (x)}^{1 + 2} + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Этап 3.3.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\sec^{3} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Этап 3.4

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec^{3} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x))$

Этап 3.5

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$\sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan (x) \sec (x)$

Этап 3.6

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$\sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \sec (x)$

Этап 3.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sec^{3} (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x)$

Этап 3.8

Добавим $1$ и $1$ .

$\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)$

Этап 3.9

Изменим порядок членов.

$\tan^{2} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x)$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \tan^{2} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x)$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \tan^{2} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x)$