Математический анализ Примеры

$x = \frac{y^{4}}{4} + \frac{1}{8 y^{2}}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} (\frac{y^{4}}{4} + \frac{1}{8 y^{2}})$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $\frac{y^{4}}{4} + \frac{1}{8 y^{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{y^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{y^{4}}{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $\frac{1}{4}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{y^{4}}{4}$ по $x$ равна $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [y^{4}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{4}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $y$ .

$\frac{1}{4} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Этап 3.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{1}{4} (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Этап 3.2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $y$ .

$\frac{1}{4} (4 y^{3} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Этап 3.2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{1}{4} (4 y^{3} y') + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Этап 3.2.4

Объединим $4$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{4} (y^{3} y') + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Этап 3.2.5

Объединим $y^{3}$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{y^{3} \cdot 4}{4} y' + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Этап 3.2.6

Объединим $\frac{y^{3} \cdot 4}{4}$ и $y'$ .

$\frac{y^{3} \cdot 4 y'}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Этап 3.2.7

Перенесем $4$ влево от $y^{3}$ .

$\frac{4 \cdot y^{3} y'}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Этап 3.2.8

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 y^{3} y'}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Этап 3.2.8.2

Разделим $y^{3} y'$ на $1$ .

$y^{3} y' + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $\frac{1}{8}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{8 y^{2}}$ по $x$ равна $\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 1$ и $g (x) = y^{2}$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{y^{2} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y^{2}]}{{(y^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y^{2}]}{{(y^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $y$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])}{{(y^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])}{{(y^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $y$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (2 y \frac{d}{d x} [y])}{{(y^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.5

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (2 y y')}{{(y^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.6

Умножим $y^{2}$ на $0$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{0 - 1 \cdot 1 (2 y y')}{{(y^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{0 - (2 y y')}{{(y^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.8

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{0 - 2 (y y')}{{(y^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.9

Вычтем $2 y y'$ из $0$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{- 2 y y'}{{(y^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.10

Перемножим экспоненты в ${(y^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.10.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{- 2 y y'}{y^{2 \cdot 2}}$

Этап 3.3.10.2

Умножим $2$ на $2$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{- 2 y y'}{y^{4}}$

Этап 3.3.11

Сократим общий множитель $y$ и $y^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.11.1

Вынесем множитель $y$ из $- 2 y y'$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{y (- 2 y')}{y^{4}}$

Этап 3.3.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.11.2.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{4}$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{y (- 2 y')}{y \cdot y^{3}}$

Этап 3.3.11.2.2

Сократим общий множитель.

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{y (- 2 y')}{y \cdot y^{3}}$

Этап 3.3.11.2.3

Перепишем это выражение.

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{- 2 y'}{y^{3}}$

Этап 3.3.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y^{3} y' + \frac{1}{8} (- \frac{(2) y'}{y^{3}})$

Этап 3.3.13

Умножим $\frac{1}{8}$ на $\frac{2 y'}{y^{3}}$ .

$y^{3} y' - \frac{2 y'}{8 y^{3}}$

Этап 3.3.14

Сократим общий множитель $2$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.14.1

Вынесем множитель $2$ из $2 y'$ .

$y^{3} y' - \frac{2 (y')}{8 y^{3}}$

Этап 3.3.14.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.14.2.1

Вынесем множитель $2$ из $8 y^{3}$ .

$y^{3} y' - \frac{2 (y')}{2 (4 y^{3})}$

Этап 3.3.14.2.2

Сократим общий множитель.

$y^{3} y' - \frac{2 y'}{2 (4 y^{3})}$

Этап 3.3.14.2.3

Перепишем это выражение.

$y^{3} y' - \frac{y'}{4 y^{3}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$1 = y^{3} y' - \frac{y'}{4 y^{3}}$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $y^{3} y' - \frac{y'}{4 y^{3}} = 1$ .

$y^{3} y' - \frac{y'}{4 y^{3}} = 1$

Этап 5.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, 4 y^{3}, 1$

Этап 5.2.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$4 y^{3}$

Этап 5.3

Каждый член в $y^{3} y' - \frac{y'}{4 y^{3}} = 1$ умножим на $4 y^{3}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим каждый член $y^{3} y' - \frac{y'}{4 y^{3}} = 1$ на $4 y^{3}$ .

$y^{3} y' (4 y^{3}) - \frac{y'}{4 y^{3}} (4 y^{3}) = 1 (4 y^{3})$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 y^{3} y' y^{3} - \frac{y'}{4 y^{3}} (4 y^{3}) = 1 (4 y^{3})$

Этап 5.3.2.1.2

Умножим $y^{3}$ на $y^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.2.1

Перенесем $y^{3}$ .

$4 (y^{3} y^{3}) y' - \frac{y'}{4 y^{3}} (4 y^{3}) = 1 (4 y^{3})$

Этап 5.3.2.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 y^{3 + 3} y' - \frac{y'}{4 y^{3}} (4 y^{3}) = 1 (4 y^{3})$

Этап 5.3.2.1.2.3

Добавим $3$ и $3$ .

$4 y^{6} y' - \frac{y'}{4 y^{3}} (4 y^{3}) = 1 (4 y^{3})$

Этап 5.3.2.1.3

Сократим общий множитель $4 y^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{y'}{4 y^{3}}$ в числитель.

$4 y^{6} y' + \frac{- y'}{4 y^{3}} (4 y^{3}) = 1 (4 y^{3})$

Этап 5.3.2.1.3.2

Сократим общий множитель.

$4 y^{6} y' + \frac{- y'}{4 y^{3}} (4 y^{3}) = 1 (4 y^{3})$

Этап 5.3.2.1.3.3

Перепишем это выражение.

$4 y^{6} y' - y' = 1 (4 y^{3})$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Умножим $4 y^{3}$ на $1$ .

$4 y^{6} y' - y' = 4 y^{3}$

Этап 5.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $y'$ из $4 y^{6} y' - y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Вынесем множитель $y'$ из $4 y^{6} y'$ .

$y' (4 y^{6}) - y' = 4 y^{3}$

Этап 5.4.1.2

Вынесем множитель $y'$ из $- y'$ .

$y' (4 y^{6}) + y' \cdot - 1 = 4 y^{3}$

Этап 5.4.1.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' (4 y^{6}) + y' \cdot - 1$ .

$y' (4 y^{6} - 1) = 4 y^{3}$

Этап 5.4.2

Перепишем $4 y^{6}$ в виде ${(2 y^{3})}^{2}$ .

$y' ({(2 y^{3})}^{2} - 1) = 4 y^{3}$

Этап 5.4.3

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$y' ({(2 y^{3})}^{2} - 1^{2}) = 4 y^{3}$

Этап 5.4.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 2 y^{3}$ и $b = 1$ .

$y' ((2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)) = 4 y^{3}$

Этап 5.4.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$y' (2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1) = 4 y^{3}$

Этап 5.4.5

Разделим каждый член $y' (2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1) = 4 y^{3}$ на $(2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.5.1

Разделим каждый член $y' (2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1) = 4 y^{3}$ на $(2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)$ .

$\frac{y' (2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)}{(2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)} = \frac{4 y^{3}}{(2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)}$

Этап 5.4.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.5.2.1

Сократим общий множитель $2 y^{3} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)}{(2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)} = \frac{4 y^{3}}{(2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)}$

Этап 5.4.5.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (2 y^{3} - 1)}{2 y^{3} - 1} = \frac{4 y^{3}}{(2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)}$

Этап 5.4.5.2.2

Сократим общий множитель $2 y^{3} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.5.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (2 y^{3} - 1)}{2 y^{3} - 1} = \frac{4 y^{3}}{(2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)}$

Этап 5.4.5.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{4 y^{3}}{(2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y^{3}}{(2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)}$