Математический анализ Примеры

$y = \frac{1}{x^{2} + x}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2} + x})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $\frac{1}{x^{2} + x}$ в виде ${(x^{2} + x)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + x)}^{- 1}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{2} + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + x]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + x]$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + x$ .

$- {(x^{2} + x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + x]$

Этап 3.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

По правилу суммы производная $x^{2} + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$- {(x^{2} + x)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- {(x^{2} + x)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- {(x^{2} + x)}^{- 2} (2 x + 1)$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(x^{2} + x)}^{2}} (2 x + 1)$

Этап 3.4.2

Изменим порядок множителей в $- \frac{1}{{(x^{2} + x)}^{2}} (2 x + 1)$ .

$- (2 x + 1) \frac{1}{{(x^{2} + x)}^{2}}$

Этап 3.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(- (2 x) - 1 \cdot 1) \frac{1}{{(x^{2} + x)}^{2}}$

Этап 3.4.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$(- 2 x - 1 \cdot 1) \frac{1}{{(x^{2} + x)}^{2}}$

Этап 3.4.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$(- 2 x - 1) \frac{1}{{(x^{2} + x)}^{2}}$

Этап 3.4.6

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$(- 2 x - 1) \frac{1}{{(x \cdot x + x)}^{2}}$

Этап 3.4.6.1.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(- 2 x - 1) \frac{1}{{(x \cdot x + x^{1})}^{2}}$

Этап 3.4.6.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$(- 2 x - 1) \frac{1}{{(x \cdot x + x \cdot 1)}^{2}}$

Этап 3.4.6.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$(- 2 x - 1) \frac{1}{{(x (x + 1))}^{2}}$

Этап 3.4.6.2

Применим правило умножения к $x (x + 1)$ .

$(- 2 x - 1) \frac{1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.4.7

Умножим $- 2 x - 1$ на $\frac{1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 x - 1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.4.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x$ .

$\frac{- (2 x) - 1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.4.9

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\frac{- (2 x) - 1 (1)}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.4.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (2 x + 1)}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.4.11

Перепишем $- (2 x + 1)$ в виде $- 1 (2 x + 1)$ .

$\frac{- 1 (2 x + 1)}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.4.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 x + 1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = - \frac{2 x + 1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x + 1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$