Математический анализ Примеры

$f (z) = e^{\frac{z}{(z - 8)}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ имеет вид $f' (g (z)) g' (z)$ , где $f (z) = e^{z}$ и $g (z) = \frac{z}{z - 8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{z}{z - 8}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d z} [\frac{z}{z - 8}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{\frac{z}{z - 8}} \frac{d}{d z} [\frac{z}{z - 8}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d z} [\frac{f (z)}{g (z)}]$ имеет вид $\frac{g (z) \frac{d}{d z} [f (z)] - f (z) \frac{d}{d z} [g (z)]}{{g (z)}^{2}}$ , где $f (z) = z$ и $g (z) = z - 8$ .

$e^{\frac{z}{z - 8}} \frac{(z - 8) \frac{d}{d z} [z] - z \frac{d}{d z} [z - 8]}{{(z - 8)}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ имеет вид $n z^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{\frac{z}{z - 8}} \frac{(z - 8) \cdot 1 - z \frac{d}{d z} [z - 8]}{{(z - 8)}^{2}}$

Этап 3.2

Умножим $z - 8$ на $1$ .

$e^{\frac{z}{z - 8}} \frac{z - 8 - z \frac{d}{d z} [z - 8]}{{(z - 8)}^{2}}$

Этап 3.3

По правилу суммы производная $z - 8$ по $z$ имеет вид $\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 8]$ .

$e^{\frac{z}{z - 8}} \frac{z - 8 - z (\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 8])}{{(z - 8)}^{2}}$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ имеет вид $n z^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{\frac{z}{z - 8}} \frac{z - 8 - z (1 + \frac{d}{d z} [- 8])}{{(z - 8)}^{2}}$

Этап 3.5

Поскольку $- 8$ является константой относительно $z$ , производная $- 8$ относительно $z$ равна $0$ .

$e^{\frac{z}{z - 8}} \frac{z - 8 - z (1 + 0)}{{(z - 8)}^{2}}$

Этап 3.6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Добавим $1$ и $0$ .

$e^{\frac{z}{z - 8}} \frac{z - 8 - z \cdot 1}{{(z - 8)}^{2}}$

Этап 3.6.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$e^{\frac{z}{z - 8}} \frac{z - 8 - z}{{(z - 8)}^{2}}$

Этап 3.6.3

Вычтем $z$ из $z$ .

$e^{\frac{z}{z - 8}} \frac{0 - 8}{{(z - 8)}^{2}}$

Этап 3.6.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.1

Вычтем $8$ из $0$ .

$e^{\frac{z}{z - 8}} \frac{- 8}{{(z - 8)}^{2}}$

Этап 3.6.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e^{\frac{z}{z - 8}} (- \frac{8}{{(z - 8)}^{2}})$

Этап 3.6.5

Объединим $e^{\frac{z}{z - 8}}$ и $\frac{8}{{(z - 8)}^{2}}$ .

$- \frac{e^{\frac{z}{z - 8}} \cdot 8}{{(z - 8)}^{2}}$

Этап 3.6.6

Перенесем $8$ влево от $e^{\frac{z}{z - 8}}$ .

$- \frac{8 e^{\frac{z}{z - 8}}}{{(z - 8)}^{2}}$