Математический анализ Примеры

$f (x) = 3 x^{2} + 2 \cos (x) - 4 e^{4 x} + π$

Этап 1

По правилу суммы производная $3 x^{2} + 2 \cos (x) - 4 e^{4 x} + π$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [π]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [π]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [π]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [π]$

Этап 2.3

Умножим $2$ на $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [π]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \cos (x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$6 x + 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [π]$

Этап 3.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$6 x + 2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- 4 e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [π]$

Этап 3.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$6 x - 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 4 e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [π]$

Этап 4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 e^{4 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 e^{4 x}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

$6 x - 2 \sin (x) - 4 \frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [π]$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 x$ .

$6 x - 2 \sin (x) - 4 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [π]$

Этап 4.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$6 x - 2 \sin (x) - 4 (e^{u} \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [π]$

Этап 4.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $4 x$ .

$6 x - 2 \sin (x) - 4 (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [π]$

Этап 4.3

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x - 2 \sin (x) - 4 (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [π]$

Этап 4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 x - 2 \sin (x) - 4 (e^{4 x} (4 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [π]$

Этап 4.5

Умножим $4$ на $1$ .

$6 x - 2 \sin (x) - 4 (e^{4 x} \cdot 4) + \frac{d}{d x} [π]$

Этап 4.6

Перенесем $4$ влево от $e^{4 x}$ .

$6 x - 2 \sin (x) - 4 (4 \cdot e^{4 x}) + \frac{d}{d x} [π]$

Этап 4.7

Умножим $4$ на $- 4$ .

$6 x - 2 \sin (x) - 16 e^{4 x} + \frac{d}{d x} [π]$

Этап 5

Поскольку $π$ является константой относительно $x$ , производная $π$ относительно $x$ равна $0$ .

$6 x - 2 \sin (x) - 16 e^{4 x} + 0$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Добавим $6 x - 2 \sin (x) - 16 e^{4 x}$ и $0$ .

$6 x - 2 \sin (x) - 16 e^{4 x}$

Этап 6.2

Изменим порядок членов.

$6 x - 16 e^{4 x} - 2 \sin (x)$